Oscilaciones y ondas Mec nicas

PROBLEMAS DE FÍSICA III
Por: Jáder Guerrero Bermúdez

OSCILACIONES ARMÓNICAS

𝑇=

𝑡
𝑁

(1)

0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
x(m)

1.
La figura muestra la elongación 𝑥, en función del tiempo, de una
partícula de masa 𝑚 = 4 kg sujeta a un resorte. Calcule la constante del resorte.
Solución:
La gráfica muestra el comportamiento de la elongación 𝑥, contra tiempo,
sugiriendo que la partícula sigue unmovimiento armónico simple-MAS.
El período de oscilación del sistema resorte-masa se calcula dividendo el
tiempo 𝑡 que dura un número 𝑁 de oscilaciones, entre el número de
oscilaciones. Esto es:

0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08

Se observa, en la gráfica, que la partícula ejecuta 5 oscilaciones en 10 s. De
manera que el período de oscilación resulta 2 s. Para este sistema la constante
del resorte se puedecalcular mediante:

-0.1

0

5

10

15

20

25

tiempo (s)

𝑘 = 𝑚𝜔2 (2)
Para este sistema resorte-masa, la frecuencia angular corresponde a: 𝜔 =

2𝜋
𝑇

= 𝜋 rad/s. Reemplazando los valores numéricos en

la ecuación (2), tenemos 𝑘 = 39.47 kg/s2.
2. Una barra de longitud ℓ está unida por un soporte liso 𝐴 a un collar de masa despreciable.
Calcule el período de oscilación de la barra, en el caso deamplitudes pequeñas, suponiendo que
el rozamiento entre el collar y la varilla horizontal es suficiente para impedir cualquier
movimiento del collar (la barra oscila como péndulo compuesto). Desprecie la resistencia del
aire (𝛾 = 0).
Solución:
Si el collar permanece en reposo la barra oscila respecto a la vertical con pivote en el punto 𝐴.
Este movimiento resulta armónico simple, con período 𝑇 dado por:𝑇 = 2𝜋√

𝐼𝐴
𝑚𝑔𝑑

𝐴

collar

ℓ

(1)

En la ecuación anterior 𝐼𝐴 es el momento de inercia de la barra respecto al punto 𝐴 (un extremo) y 𝑑 es la distancia entre el centro
de masa de la barra y el punto 𝐴. En detalle:
1

𝐼𝐴 = 𝑚ℓ2 (2)
3

ℓ

𝑑 = (3)
2

Remplazando (2) y (3) en (1), tenemos:
𝑇 = 2𝜋√

2ℓ
3𝑔

(4)

1

Ek
Ep
ET

1

0.8

Energía (J)

3.
Una partícula de masa 𝑚 se mueve con un movimientoarmónico simple (MAS) y su elongación (desplazamiento
respecto a la posición de equilibrio) está dada por la expresión:
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔0 𝑡 + 𝜑) a.) ¿Qué fracción de su energía total es
energía cinética cuando el desplazamiento es la mitad de su
amplitud? b.) ¿Para qué desplazamiento coinciden la energía
cinética y potencial?

0.6

0.4

Solución:
0.2

a.) Se puede mostrar que la energía total en un MAS esconstante y su valor es:

0
-1

-0.5

1

𝐸𝑇 = 𝑚𝜔02 𝐴2 (1)

0
x (m)

0.5

1

2

Por otro lado, la energía cinética en función de la elongación se obtiene mediante:
1

1

2

2

𝐸𝐾 = 𝑚𝜐 2 = 𝑚𝜔02 (𝐴2 − 𝑥 2 ) (2)
Para una elongación igual a la mitad de la amplitud, esto es 𝑥 = 𝐴⁄2, la energía cinética corresponde a:
3

𝐸𝐾 = 𝑚𝜔02 𝐴2 (3)
8

De manera que la fracción de la energía total que corresponde ala energía cinética resulta:
𝐸𝐾
𝐸𝑇

=

3

(4)

4

Esto es, cuando la elongación es la mitad de la amplitud, la energía cinética de la partícula es el 75% de la energía total.
b.) Por otro lado, la energía potencial de la partícula viene dado por:
1

𝐸𝑃 = 𝑚𝜔02 𝑥 2 (5)
2

Igualando las ecuaciones (2) y (5) tenemos:
𝑥=±

√2
2

𝐴.

El resultado del literal a) y b) se puede verificar en la gráfica dearriba a la derecha.

2

4.
Una masa 𝑚, puntual, está unida al extremo de una barra de masa 𝑀 y longitud ℓ, la barra puede oscilar
respecto al punto O, en su parte superior. Determinar para pequeñas oscilaciones el período del movimiento.

𝑜

Solución:
Consideremos que el peso del sistema barra-masa se aplica en su centro de masa. El torque producido por el peso
del sistema, respecto al punto O,genera una aceleración angular. Para pequeñas amplitudes de oscilación sen 𝜃 ≈
𝜃 y permite escribir:
−(𝑀 + 𝑚)𝑑𝑔𝜃 = 𝐼𝑂 𝜃̈ (1)
Se identifica en la ecuación (1), la ecuación de una oscilación armónica,
𝜃̈ + ω20 θ = 0 (2)
Con frecuencia angular:
𝜔0 = √

(𝑀+𝑚)𝑑𝑔
𝐼𝑂

(3)

Donde 𝑑, es la distancia desde el punto O hasta el centro de masa del sistema barra-masa,
𝑀

( 2 +𝑚)

𝑑=

(𝑀+𝑚)

ℓ (4)

𝑔, es la...