Oscilaciones

1.1.

Introducción

Uno de los fenómenos más importantes que estudia la física es el movimiento oscilatorio. En mecánica, este tipo de movimiento se presenta cuando a un sistema físico que tienen una posición de equilibrio estable, se le imprime un desplazamiento inicial respecto de ésta; entonces entra en acción una fuerza o un momento de torsión (fuerza recuperadora o momento recuperador)que trata de volverlo al equilibrio. Sin embargo, cuando el sistema llega allí, ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite alcanzar un desplazamiento en dirección contraria al que se le imprimió inicialmente, hasta detenerse en algún punto. Desde esta nueva posición, la fuerza o el momento de torsión lo impulsará de nuevo al equilibrio, posición que nuevamente sobrepasará, de modo que,si el sistema es conservativo volverá a la posición que alcanzó cuando se le desplazó inicialmente y se completa un ciclo. Si el sistema no es conservativo, se detendrá porque los deplazamientos a uno y otro lado de la posición de equilibrio irán disminuyendo en la medida en que transcurre el tiempo, debido a la disipación de energía. Cuando en el sistema está presente solo la fuerza recuperadora(o el moemnto recuperador) se dice que la oscilación es libre y no amortiguada; si además están presentes fuerzas disipativas, se dice que la oscilación es libre y amortiguada. Bajo la presencia de solo estas dos fuerzas el sistema se detendría, pero es posible mantenerlo en movimiento, aplicándole una fuerza externa dependiente del tiempo, generalmente períodica (fuerza impulsora). Se logra asílo que se denomina una oscilación amortiguada y forzada. En esta unidad se estudiará las oscilaciones de algunos sistemas simples que tienen un solo grado de libertad, es decir, aquellas cuya posición queda bien de…nida con una sola coordenada.

1.2.

El Oscilador Armónico Simple (OAS)

En esta sección se estudia un modelo físico que consiste en un cuerpo (partícula o cuerpo rígido)cuyaposición se …ja por medio de una sola coordenada y en donde la fuerza recuperadora o el torque recuperador es directamente proporcional y opuesto al desplazamiento relativo a la posición de equilibrio: el oscilador armónico simple. A continuación se presentarán algunos ejemplos concretos que caen dentro del modelo aquí descrito.

1.2.1.

El sistema masa resorte

Un ejemplo de OAS lo constituye elsistema masa resorte. Supóngase que uno de los extremos de un resorte de masa despreciable como se indica en la …gura 1 se …ja al punto E. En el otro extremo del resorte se acopla un cuerpo de masa m que pude moverse en una super…cie horizontal sin rozamiento. Si m se desplaza a lo largo del eje del eje x y se suelta, el resorte ejecerá sobre ella una fuerza recuperadora que la trata de llevar denuevo a la posición de equilibrio. Según la ley de Hook la fuerza está dada por F = kx y, al aplicar la segunda ley de Newton

1

k

m

F=-kx

m m

a)

b)

Figura 1.1: a) Sistema masa-resorte . b) Su diagrama de cuerpo libre

se obtiene F =

x kx = m d 2 , ecuación que puede escribirse de nuevo en la siguiente forma: dt

2

d2 x m 2 + kx = 0 dt o también

(1.1)

d2 x+ !2x = 0 (1.2) 2 dt la cantidad r k (1.3) != m se llama frecuencia natural del sistema y (2) constituye la ecuación diferencial (o modelo matemático) del sistema masa-resorte.
z’
O C C

(a)
z θ

b
C

k

(b)

m
D

O

θ mg

Figura 1.2: (a) Péndulo físico. (b) Péndulo de torsión

1.2.2.

El Péndulo de torsión

Otro ejemplo de OAS es el péndulo de torsión, consistente en uncuerpo suspendido de un alambre elástico (…gura2b) de tal manera que la línea OC pasa por el centro de masa del cuerpo. Cuando el sistema se rota un ángulo a partir de su posición de equilibrio, el alambre se tuerce y ejerce un torque recuperador alrededor de OC que se opone al desplazamiento : Para este caso se comprueba experimentalmente que = kt donde kt es la constante 2

de torsión del...