Oscilaciones

15 Centro de oscilación. Longitud equivalente o reducida de un péndulo físico
«Se llama LONGITUD REDUCIDA de un péndulo físico a la longitud que tendría un péndulo simple del mismo período».

Igualando las expresiones de los períodos del simple y el físico, obtenemos para valor de la longitud equivalente o reducida (l):

2πlg=2π=IMgd l=IMd
DONDE:
I es el momento de inerciadel cuerpo que oscila, con respecto al eje de giro.

Al punto en que la vertical que pasa por G (centro de masas) corta al eje de suspensión, cuando el péndulo está en la posición de equilibrio, se le llama CENTRO DE SUSPENSIÓN (O).

Tomemos a partir de O, en la dirección y sentido OG, una distancia
l = I/Md; habremos obtenido un punto, el llamado CENTRO DE OSCILACIÓN (O´); supuesta toda lamasa del péndulo concentrada en él, habríamos obtenido el péndulo simple del mismo período que el péndulo físico.

Apliquemos el teorema de Steiner a la ecuación anterior, llamando IG al momento de inercia del cuerpo con respecto a su eje horizontal, paralelo al de suspensión, y que pasa por el CM (G).
l=lG + Md2Md =lG Md+ d

Para que un péndulo que oscila alrededor de un eje, cuya distanciaal centro de masa es d, lo haga con el mismo período que oscilando alrededor de otro, cuya distancia a G es d, se debe verificar que tenga en los dos casos la misma longitud equivalente, es decir:

l=IG Md+ d = IG Md´+ d´ ; IG=(1Md- 1Md´)= d1-d ; IG=(d1-dMdd1 )= d1-d

Esta última ecuación tiene dos soluciones: la primera d1- d = 0, es decir, d = d1. Si a un lado y otro del centro demasas de un cuerpo sobre la misma recta y distancias iguales, tomamos dos puntos (O y O1) por los que hacemos pasar ejes horizontales, el período de oscilación del péndulo, en torno a uno u otro eje es el mismo. (El período vendrá dado por: T=2πlg

La segunda de las soluciones de la ecuación es la más interesante y nos demuestra que los centros de suspensión (O) y oscilación (O´) son conjugados;si d y d´ son desiguales, dividiendo
por d´ – d, obtenemos:

IGMd d1=1 IGMd = d1

Sustituyendo este valor (11) obtenemos:

l = d +d1

«Si dos puntos de un cuerpo gozan de la propiedad de que el período de la oscilación es el mismo suspendido el cuerpo de uno o de otro, siendo distintas sus distancias al CM la suma de tales distancias es igual a la longitud equivalente o reducida».16. Péndulo reversible y usos del péndulo

El péndulo reversible de Kater es una barra metálica con dos cuchillas (C y C1), y una lenteja M, que sirve para que el CM del sistema no equidiste de C y C1, Las masas móviles m y m1 permiten modificar la posición del CM. (La masa m se desplaza a voluntad a lo largo de la barra sin más que aflojar el tornillo de presión que la sujeta; la m1 se muevecon respecto a la m por medio de un tornillo micrométrico). Se modifica la posición de m y m1hasta que el péndulo sea reversible, es decir, hasta que tenga el mismo período de oscilación apoyado en C o en C¢ (lenteja arriba). La longitud equivalente de este péndulo (longitud del péndulo simple del mismo período) es, entonces, la distancia entre los puntos de apoyo. Para determinar la longitud de unpéndulo cualquiera se compara con el reversible:

T=2πlg (Para el reversible)
TT1 =1X
T1=2πXg (Para el desconocido)

Los dos períodos, T y T1 se determinan experimentalmente. El péndulo se emplea para medir el tiempo, debido a la constancia que tiene su período para un lugar de la Tierra. El semiperíodo de los péndulos de los relojes es de 1 s, y el período, por lo tanto,de dos segundos; se dice, entonces, que el péndulo bate segundos. La longitud equivalente debe ser, en este caso, la correspondiente a la fórmula:

2 = 2π lg
1 = π lg l=980π2cm =1m
g = 980cm/s2

17. Centro de percusión

Cuando estudiábamos el movimiento de traslación de un cuerpo, producido por un determinado impulso, considerábamos a la masa concentrada en el CM. Para averiguar el...