Oscilador amortiguado

Se suelta un péndulo con una longitud de 1m desde un ángulo inicial de 15°. Después de 1000s su amplitud se ha reducido, a causa del rozamiento, hasta 5.5°. ¿Cuál es el valor de b/2m?


Para este caso se tiene que:
θ_((t) )=θ_0 e^(-b/2m t) (cos⁡〖wt+θ〗)
Pero el valor de (cos⁡〖wt+θ〗) es aproximadamente 1, por lo tanto la anterior ecuación puede escribirse de la siguiente forma:
θ_((t))=θ_0 e^(-b/2m t)
Despejando a euler:
θ_((t) )/θ_0 =e^(-b/2m t)
Ahora aplicamos logaritmo natural (función inversa del Euler) para eliminar al euler, la anterior ecuación toma la siguiente forma:
ln⁡〖θ_((t) )/θ_0 〗= -b/2m t
Luego, despejamos a t para hallar el valor de -b/2m, y queda: ln⁡〖θ_((t) )/θ_0 〗/t= -b/2m
Finalmente no queda más que aplicar propiedades de los logaritmos y reemplazar:-b/2m= ln⁡〖(5.5)/15〗/1000=ln⁡〖5.5-ln⁡15 〗/(1000 s)  b/2m=1.00*〖10〗^(-3) s^(-1)
Considere las oscilaciones forzadas de un sistema masa-resorte amortiguado. Demuestre que en resonancia, a) la amplitud de las oscilación es A=F_0/bw, y b) la velocidad máxima del bloque oscilatorio es: V_max=F_0/b

La Amplitud está dada por: A=(F_0/m)/√((w^2-〖w_0〗^2 )^2+(bw/m)^2 ), pero como elsistema está en resonancia ( cuando oscila en la mayor amplitud posible) implica que w_0=w, entonces:
A=(F_0/m)/√((w^2-〖w_0〗^2 )^2+(bw/m)^2 )=(F_0/m)/√((bw/m)^2 )
Se elimina la raíz con el cuadrado, luego se cancelan las masas y se obtiene:
A= (F_0/m)/(bw/m)=F_0/bw
Por lo tanto queda demostrado.
De la ecuación anterior tenemos: A=F_0/bw, despejamos y queda:
Aw=F_0/b , como V_max=wA,entonces:
V_max=F_0/b


En un oscilador amortiguado considere m=0.25 kg, k=85 N/m y b=0.07 Kg/s. ¿En cuántos periodos de oscilación seria la energía mecánica igual a la mitad de su valor inicial?
Tenemos que E_T=1/2 kA^2 , tomamos los puntos de inflexión, se tiene que: (cos⁡〖wt+θ〗 )=±1, donde ±1 es el máximo valor que toma la función, entonces podemos considerar que x=A debido a que x esla elongación máxima del sistema, entonces:
E_T=1/2 kx^2 Y x_((t) )=Ae^(-b/2m t)
Esto es igual a:
E_T=1/2 k(Ae^(-b/2m t) )^2= 1/2 kA^2 e^(-b/m t)
Luego,
1/2 E_T=E_To e^(-b/m t)
Las energías se cancelan ya que nos piden que la energía mecánica del oscilador (total) sea igual a la mitad de su valor inicial, entonces:
1/2 E_T=E_To e^(-b/m t)→1/2= e^(-b/m t)
Aplicamos logaritmo naturalpara eliminar al euler, despejamos a t y reemplazamos:
ln⁡(1/2)= -b/m t →t=-ln⁡〖(1/2)*m〗/b=-ln⁡〖(1/2)*(0.25 Kg)〗/((0.07Kg/s) )=2.47 s
Hallamos w, con w=√(k/m ) →w=√((85 N/m)/(0.25 Kg))=18.43 rad/s
Luego hallamos el periodo (T), con T=2π/w →T=2π/(18.43 rad/s)=0.34 s
Finalmente, hallamos el número de oscilaciones:
T=tiempo/(# de oscilaciones)→# de oscilaciones =tiempo/T
# deoscilaciones =(2.47 s)/(0.34 s)=7,26 ≅7 oscilaciones
Es decir, debemos hacer oscilar el sistema 7 veces para que la energía total del oscilador sea igual a la mitad de la energía total.

Se suelta un péndulo con una longitud de 1m desde un ángulo inicial de 15°. Después de 1000s su amplitud se ha reducido, a causa del rozamiento, hasta 5.5°. ¿Cuál es el valor de b/2m?


Para este caso se tieneque:
θ_((t) )=θ_0 e^(-b/2m t) (cos⁡〖wt+θ〗)
Pero el valor de (cos⁡〖wt+θ〗) es aproximadamente 1, por lo tanto la anterior ecuación puede escribirse de la siguiente forma:
θ_((t) )=θ_0 e^(-b/2m t)
Despejando a euler:
θ_((t) )/θ_0 =e^(-b/2m t)
Ahora aplicamos logaritmo natural (función inversa del Euler) para eliminar al euler, la anterior ecuación toma la siguiente forma:
ln⁡〖θ_((t) )/θ_0〗= -b/2m t
Luego, despejamos a t para hallar el valor de -b/2m, y queda: ln⁡〖θ_((t) )/θ_0 〗/t= -b/2m
Finalmente no queda más que aplicar propiedades de los logaritmos y reemplazar:
-b/2m= ln⁡〖(5.5)/15〗/1000=ln⁡〖5.5-ln⁡15 〗/(1000 s)  b/2m=1.00*〖10〗^(-3) s^(-1)
Considere las oscilaciones forzadas de un sistema masa-resorte amortiguado. Demuestre que en resonancia, a) la amplitud de las...