Oscilador armonico cuantico

OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO

INTRODUCCIÓN
El oscilador armónico cuántico es el análogo mecano cuántico del oscilador armónico clásico. Es uno de los sistemas modelo más importante en mecánica cuántica, también es un sistema físico de especial importancia en el estudio de las vibraciones de las moléculas y tiene interés desde el punto de vista matemático. Además, es uno de los sistemas mecanocuántico que admite una solución analítica.

OSCILADOR ARMÓNICO CLÁSICO
El oscilador armónico clásico constituye un movimiento repetitivo que se rige por la ley de Hooke, la cual establece que en el caso de un desplazamiento en el eje x de una masa dada a partir de una posición de equilibrio, la fuerza F que actúa en contra del desplazamiento es proporcional al desplazamiento:
F=-kx
Donde krecibe el nombre de constante de fuerza y tanto F como x son vectores, el signo negativo en la ecuación indica que los vectores de fuerza y desplazamiento poseen sentidos opuestos.
La energía potencial V, que se rige por la ley de Hooke se relaciona con la fuerza mediante una integral simple:
V=-Fdx=1/2kx2
La energía potencial no depende de la masa del oscilador.
La posición del oscilador enfunción del tiempo x(t):
xt=x0senk/m t+ ϕ
Donde x0 es la amplitud máxima de oscilación; k y m son la constante de fuerza y la masa respectivamente; t es el tiempo y ϕ es un factor de fase (que indica la posición absoluta de la masa en el tiempo de partida, cuando t=0).
Al oscilador le toma determinado tiempo τ en segundos, efectuar un ciclo completo. Por tanto, en un segundo habrá 1/τoscilaciones. En un movimiento sinusoidal, un ciclo corresponde a un cambio angular de 2π. La frecuencia v es independiente del desplazamiento y se da en términos de hertz (Hz).
v=1τ=1/2πk/m

OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, una función de onda para un oscilador armónico simple en una dimensión puede determinarse mediante la ecuación (independiente deltiempo) de Schrodinger :
-h22md2 ᴪdx2+Vxᴪ=Eᴪ
Las energías potenciales son energías de posición, la forma de energía potencial en mecánica cuántica es la misma que la expresión clásica. Como consecuencia de la definición del operador de la energía potencial Vx la ecuación de Schrodinger para el oscilador armónico es:
-ℏ22md2 ᴪdx2+12kx2ᴪ=Eᴪ
Las funciones de onda aceptables para este sistema enuna dimensión deben satisfacer esta ecuación de eigenvalores, la cual posee una solución analítica. El método que se aplica corresponde a una técnica general de solución de ecuaciones diferenciales, definimos la función de onda como una serie de potencias y encontramos que para resolver la ecuación de Schrodinger la serie de potencias debe poseer una forma especial.
Reescribiremos la ecuaciónSchrodinger, donde k es la constante de fuerza:
k=4π2ν2m
Entonces:
-ℏ22md2 ᴪdx2+2π2ν2mx2ᴪ=Eᴪ


Ahora definamos:
∝≡2πνmℏ
Dividamos ambos miembros de la ecuación entre el termino -ℏ2/2m y pasemos todos los términos a uno de los miembros de la ecuación para obtener una expresión igual a cero. Tenemos:
d2ᴪdx2-∝2x2ᴪ+2mEh2ᴪ=0

La forma de la función de onda ᴪ que satisface esta ecuaciónde Schrodinger posee una serie de potencias de la variable x y cada potencia de x posee una constante denominada coeficiente (c) que la multiplica.
fx= CO+C1X1+C2X2+…
Resulta más conveniente expresarlo de la forma:
fx=n=0∞cnxn
Las sumas que tienden a un número infinito de términos muchas veces se aproximan a infinito a menos de que haya alguna forma de lograr que sea sucesivamente más pequeño.Una solución parcial consiste en suponer que cada término de la suma se multiplica por otro término que es mucho más pequeño que la x misma.
En estos momentos incluiremos una función exponencial y tendremos la función de onda de este sistema como:
ᴪ=e-∝x22.f(x)
Ahora es posible calcular la primera y segunda derivada con respecto a x.
ᴪ'=-∝xe-∝x22.fx+e-∝x22.f'(x) (Primera derivada)...