Oscilador armonico

TEMA 7
EL OSCILADOR ARMÓNICO

Estudio general del oscilador armónico:
Uno de los movimientos más importantes observados en la naturaleza es el movimiento UNLO D oscilatorio ( o vibratorio). Uno de Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente respecto a la posición de equilibrio
*El movimiento de un péndulo es oscilatorio. * Un cuerpo en el extremo de un muelle estirado comienza aoscilar una vez que éste se suelta. *Los átomos de un sólido están vibrando. *La vibración de un cristal de cuarzo en un reloj. *Las vibraciones del sonido producidas por un clarinete o por un tubo de órgano. *El movimiento de aquí para allá de los pistones de un motor de coche

De todos los movimientos oscilatorios el más importante es el movimiento armónico simple (MAS), debido a que, además deser el de más sencilla descripción matemática, constituye una aproximación muy cercana a muchos de los movimientos oscilatorios que encontramos en la vida real. El OAS es un sistema formado por un único objeto de masa m sujeto a un muelle o dispositivo equivalente lo cual hace que esté sometido a una fuerza restauradora (i.e. opuesta al movimiento) directamente proporcional al desplazamiento delcuerpo respecto a la posición de equilibrio.

OSCILADOR ARMÓNICO Las dos características básicas que debe contener un sistema para comportarse como un OAS son:
- Una componente inercial capaz de transportar energía cinética -Una componente elástica capaz de almacenar energía potencial elástica

Como la fuerza es directamente proporcional al desplazamiento, la energía potencial seráproporcional al cuadrado de éste. Por otro lado la energía cinética, siempre que la componente inercial esté concentrada en la masa del cuerpo al extremo del muelle será igual a ½ mv2

La fuerza recuperadora de un resorte idealizado es directamente proporcional al desplazamiento. Ésta es la ley de Hooke (F=-kx)(k es la constante de la fuerza). La oscilación de una fuerza restauradora que obedece a la leyde Hooke se denomina MAS

En casi todas las oscilaciones reales, la fuerza recuperadora no es directamente proporcional al desplazamiento. No obstante F= -Kx suele ser una buena aproximación si el desplazamiento x es suficientemente pequeño

Modelo de movimiento periódico. a) En la posición de equilibrio, el resorte ejerce fuerza 0. Cuando el cuerpo está desplazado respecto a la posición deequilibrio, el resorte ejerce una fuerza recuperadora dirigida hacia la posición de equilibrio. b) Diagrama del cuerpo libre de las tres posiciones

F = −k x
2 2 2   x k x k x0 k x V ( x) = dx = dx =− −∫ F = ∫kx 2 2 2 x0 x0 x

Tomando como estado de referencia, x0=0

2ª Ley de Newton

 d 2x  − Kx − Kx F = ⇒ m a = ⇒ m  2  + Kx = 0  dt 
1  dx  1 m  + Kx 2 = Etot = cte 2  dt 2
2

Conservación energía

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE
Solución:

= A cos(ω0t + ϕ ) x v = 0t + ϕ ) − Aω0 sen(ω
a = ω cos(ω0t + ϕ ) = x −A −ω
2 0 2 0
A: amplitud

x = Asen(ω0t + ϕ + π / 2)

ω0 : frecuencia

T=

2π

ϕ : desfase
T: período

ω

0

O.A.S.

Di Hay una oscilación alrededor de la posición de equilibrio, pero la partícula no avanza por el eje X

x = Acos(ω0t + ϕ )
xmáx = ± A

v = 0t + ϕ ) − Aω0 sen(ω
vmáx = ± A ω0

a = 0t + ϕ ) − Aω cos(ω
2 0
2 am á x = ± Aω0

O.A.S.

Las constantes, A y ϕ , se determinan a partir de las condiciones iniciales, x0 y v0 : x = A cos(ω0t + ϕ ), si (t = 0) ⇒ x0 = A cos ϕ v =Aω0 sen(ω0t + ϕ ), si (t = ⇒ v0 =Aω0 senϕ 0) − −
v0 v0 divi dim os : = tgϕ ⇒ tg ϕ = −ω0 − x0 x0 ω0 x 2 = cos(ω0t + ϕ ) ] = 2 cos 2(ω0t + ϕ ), para (t = ⇒ A 0) [A
2 2 x0 = A2 cos 2 ϕ

v 2 = ω0 sen(ω0t + ϕ ) ] = 0 sen 2 (ω0t + ϕ ), para (t = A2ω 2 0 ⇒ [− A
2

v = A ω sen ϕ ⇒
2 0 2 2 0 2

2 ω0

2 v0

= 2ϕ , sumando las dos ecuaciones : A2 sen
2 v0 2 ⇒ A2 = x0 + 2 v0

2 A2 ( sen 2ϕ + cos 2 ϕ ) = x0 +

2 ω0

2 ω0

2 v0 v0 2 − tgϕ = 2 = ; A x0 + 2 ω0 x0 ω0

El péndulo simple
Modelo idealizado que consiste...