Osos

Cap´ ıtulo 2

LOS VECTORES
Recordemos que nuestra meta es algebrizar los objetos geom´tricos. Durante e los siglos XVII y XVIII, la geometr´ recibi´ un gran impulso con los m´todos ıa o e algebraicos de coordenadas; pero, a partir del siglo XIX, se produce una nueva algebrizaci´n los vectores. Con los vectores procederemos a algebrizar o los elementos mismos de las figuras los puntos. En estecap´ ıtulo algebrizaremos los puntos del plano, a los que despu´s e de la algebrizaci´n, llamaremos vectores. Hay dos razones b´sicas para o a introducir los vectores • simplificaci´n de los c´mputos algebraicos, y o o • f´cil generalizaci´n a dimensiones superiores. a o En el texto haremos varias referencias a operaciones matriciales. Supondremos dichas operaciones conocidas por el lector. Sinembargo, ese conocimiento no es esencial, el lector que ignore las operaciones matriciales, podr´ tomar a las definiciones de los ejemplos del texto.

2.1

La Definici´n de Vector o

Un vector ser´, al menos por ahora, otro nombre para un punto del plano, o a sea para un par ordenado de n´meros reales. Lo nuevo ser´ que introducireu a mos operaciones algebraicas con los vectores y agregaremosnuevas maneras de interpretar a esos objetos. Representaremos gr´ficamente al vector (a, b) a como una flecha que comienza en el origen y acaba en el punto (a, b). La situaci´n se ilustra en la figura 2.1. o

2–2

CAP´ ITULO 2. LOS VECTORES
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2 3 4 a 5 b

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Figura 2.1: La representaci´n gr´fica de un vector o a Por razones, que ser´n claras m´s adelante, resultar´ conveniente escribir a a a los vectores como matrices columnas x y .

Por lotanto, para irnos acostumbrando a ese uso, algunas veces usaremos la notaci´n matricial. Pero, como dicha notaci´n, es relativamente inc´moda o o o tipogr´ficamente, continuaremos simbolizando a los vectores por matrices a filas, o sea como pares ordenados (x, y). Cuando hablemos del vector (x, y), diremos que los n´meros x, y son las componentes o coordenadas del vector. u Sin embargo es importanterecordar, por lo visto en el cap´ ıtulo pasado, que la noci´n de coordenadas est´ asociada a un sistema referencial, que o a impl´ ıcitamente ser´ el sistema cartesiano ortogonal. a La noci´n de VECTOR fue introducida en las ciencias f´ o ısicas para representar conceptos o cantidades que no pod´ describirse por un s´lo n´mero. ıan o u La velocidad de un m´vil es un ejemplo de tales nociones, yaque la velocio dad de un m´vil tiene adem´s de una magnitud, una direcci´n. Por ejemplo, o a o no es lo mismo moverse hacia la izquierda que hacia la derecha. Matem´ticamente, los vectores nos proporcionan simult´neamente las a a siguientes nociones, todas relacionadas entre s´ ı, una posici´n o una magnitud una direcci´n o la punta de la flecha (el punto) el largo de la flecha la “direcci´n” de laflecha o

En la figura 2.2 tenemos la representaci´n de tres vectores, P , Q y R. o La figura ilustra que los vectores P y Q tienen igual direcci´n pero diferente o magnitud; mientras que los vectores P y R tienen igual magnitud, pero diferente direcci´n. o

´ 2.1. LA DEFINICION DE VECTOR
Q
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2–3

P
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R

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Figura 2.2: Ejemplos de vectores

2.1.1

Las operaciones con...