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El campo de los números reales
En este capítulo presentamos un repaso de los conceptos y las técnicas fundamentales de la
aritmética de los números reales que son esenciales para la comprensión y manipulación de las
expresiones algebraicas. Los alumnos que ingresan al bachillerato ya conocen la mayor parte del
contenido de este capítulo por lo que el profesor puede optar por estudiarlo muyrápidamente
para poder dedicar más tiempo a los temas sustantivos del álgebra.

Introducción
Los números han surgido a lo largo de la historia como una herramienta para resolver problemas
de conteo, medición, ordenación, etcétera. Actualmente los vemos como algo ya terminado y
tendemos a creer que siempre existieron así; sin embargo, en cada época, cuando se introdujo
algún número nuevo ogrupo de números nuevo, a menudo se suscitaban polémicas muy fuertes
y estos números tardaban muchos años en ser aceptados por la comunidad en general. Tales
son los casos del cero, de los números negativos, los números irracionales, etcétera.
Los primeros números que surgieron históricamente fueron los números naturales , , , ,
... que nos sirven para contar. Aunque el cero apareció después, esmás práctico considerarlo
dentro de los números naturales. Denotamos por
decir,

al conjunto de los números naturales, es

Uno de los primeros problemas a los que nos enfrentamos al considerar únicamente a los
números naturales, es que al restar dos de ellos el resultado no es siempre otro natural. Por
ejemplo, en la escuela primaria nos enseñaron que
es que la respuesta no es un númeronatural.

"no se puede efectuar''. Lo que sucede

Para poder restar cualquier par de números naturales es necesario introducir los números
enteros negativos que junto con los números naturales constituyen los números enteros:

Los números naturales también son llamados enteros no negativos.
Al restar cualquier par de estos números se obtiene otro entero. Los números negativos son
útiles enla vida cotidiana para representar cantidades como temperaturas por debajo del punto
de congelación del agua (
C), deudas monetarias y profundidades con relación al nivel del mar
de zonas que están por debajo de éste, entre otras cosas.
Así como enfrentamos el problema de no poder restar si tenemos sólo números naturales,
también enfrentamos el problema de no poder dividir si tenemos sólonúmeros enteros; por
ejemplo, al dividir
conjunto de números.

no obtenemos un número entero, por lo que es necesario ampliar el

Consideramos ahora el conjunto de los números racionales, que son aquellos que pueden
escribirse como cociente de dos números enteros, donde el denominador no es el cero.

Observemos que como todo número entero se puede escribir como el cociente de él mismo entreuno,

, entonces todo número entero es un número racional; así,

Los números racionales son suficientemente buenos para la mayoría de las operaciones que
realizamos cotidianamente; sin embargo, ya desde los pitagóricos, en el siglo V a.de C, se dieron
cuenta de que con una regla y un compás se podían construir segmentos cuya longitud no se
podía expresar como cociente de dos enteros. Porejemplo, en el triángulo rectángulo cuyos
catetos miden
y

, la hipotenusa mide

enteros; es decir,

y este número no se puede escribir en la forma

con

no es un número racional.

Construcción de
Como veremos en las secciones siguientes, todos los números racionales pueden identificarse
con puntos en una recta. El hecho de que, por ejemplo
no sea un número racional, significa
quehay un punto en la recta al que no se le ha asociado ningún número racional; de hecho, hay
una infinidad de dichos puntos, por lo que es necesario inventar otros números, llamados
números irracionales, para los puntos de la recta a los que no se les ha asociado ningún número
racional. Es así como surgen los números reales, que son la unión de los números racionales e
irracionales....