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Gradientes y derivadas direccionales
Alexander Holguín Villa Departamento de Matemáticas, FCEN Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia e-mail: ahvi03@matematicas.udea.edu.co alexholguinvilla@gmail.com

Abstract En la sección 2:1 estudiamos las grá…cas de funciones con valores reales. Ahora retomaremos este estudio usando los métodos del cálculo. Especí…camente, los gradientes se usaránpara obtener una fórmula para el plano tangente a una super…cie de nivel. Keywords: Gradiente, derivadas direccionales, plano tangente..

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Gradientes y derivadas direccionales

De…nición 1.1 Si f : U R3 ! R es diferenciable, el gradiente de f en (x; y; z) es el vector en el espacio dado por rf = @f ; @f ; @f . Este @x @y @z vector también se denota por rf (x; y; z). Así, rf es simplemente lamatriz derivada Df , dispuesta como vector. Sea f : U R3 ! R a valores reales v ; x 2 R3 y consideremos la ! ! función dada por t 7! f x + t v . Note que el conjunto de puntos de la forma x + t v , t 2 R es la recta L que pasa por x y es paralela al vector v ,
! ! ! ! ! !

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dada por l (t) = x + t v . Además t 7! f x + t v

!

!

!

!

= f jL :

¿Con qué rapidez cambian losvalores de f a lo largo de L en el punto x? Dado que la razón de cambio de una función está dada por una derivada, la respuesta será: es el valor de la derivada de esta función de t en t = 0 ! ! ! ! (t = 0 ! x + t v = x). Esto debería ser la derivada de f en x en la dirección ! de v . n!o ! De…nición 1.2 f : U Rn ! Rm . Dado u 2 Rn j O , se de…ne f 0 a; u = lim
t!0 ! !

!

f a + tu

!

!

fa

!

t

siempre que este último límite exista. Nótese que este límite depende de ! ! ! ambos a y u, por lo que es denominado la derivada de f en a en la dirección ! de u, (En cálculo se requiere que este último vector sea unitario, pero tal condición no es necesaria). Ejemplo 1.3 f : R2 ! R dada por f (x; y) = xy. Determinar f 0 a; u , con a = (a1 ; a2 ) y u (0; 1). 2
! ! ! !

f 0 a; u! ! ! !

= lim

f 0 a; u

f ((a1 ; a2 ) + t (0; 1)) f ((a1 ; a2 )) t!0 t a1 (a2 + t) a1 a2 = lim = a2 t!0 t R3 ! R diferenciable, entonces todas las derivadas
! ! ! ! ! !

Teorema 1.4 Si f : U

direccionales (en dirección de u 6= O) existen y además f 0 a; u = rf a Observación 1.5 Como f 0 x; u tario y =
! ^ ! !

u

=

rf x

!

cos ( ), para u = u uni-

!

^

rf x ;u , por tanto: =

Se tendrá un máximo si
^

= 0 rad y, en este caso rf x

!

y u tienen igual
!

^

dirección y sentido. Ahora se tiene un mínimo si

rad, luego rf x

y u tienen sentido contrario. Adicionalmente para una partícula que se desplaza sobre la super…cie que de…ne f , ésta lo hará a nivel constante, es decir ! ! ! ! z = k, si rf x u = 0, es decir rf a ? u; así:Teorema 1.6 Supongamos que rf x 6= O. Entonces rf x la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido. Ejemplo 1.7 (Dirección de máximo crecimiento) Si la temperatura en cada punto (x; y; z) viene dada por T (x; y; z) = 85 + (1
2 2 z=100) e (x +y )

!

!

!

apunta en

hallar en P0 (2; 0; 99) la dirección en que la temperatura crece más rápido. 2 2 rT (x; y; z) = e (x +y ) ( 2x (1 z=100); 2y (1 z=100) ; ( 1=100)), así: 1 1 4 e ; 0; e 4 rT (2; 0; 99) = 25 100

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Para hallar un vector unitario paralelo al anterior multiplicamos la anterior expresiónpor 100e4 , por tanto:
!

u = ( 4; 0;

1 ^ 1) ! u = p ( 4; 0; 17

1)

que es la dirección en la que T crece más rápido. Ejemplo 1.8 Calcular f 0 x; u en P0 (0; 1) para el cual u es unitario en la dirección de P0 Q, Q (3;5). Además determinar en P0 , para el cual f 0 x; u ! 1 ^ es máxima, si f (x; y) = ex tan 1 (y). P Q = (3; 4) ! u = (3; 4). Además 5 ex x 1 fx = e tan (y), fy = , luego 1 + y2 f 0 (0; 1) ; u
^ ! ! ^ ! ^ ^

= u rf ((0; 1)) =

^

1 (3; 4) ( =4; 1=2) 5 1 3 = +2 5 4
^

Ahora bien, D ^ f es máxima cuando rf y u tienen la misma dirección y u sentido, por tanto: rf ((0; 1)) ( ; 2) ^ u= =p 2+4...