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Publicado: 8 de noviembre de 2012
Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. Deacuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a decada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
El coeficiente a en eltérmino de xbyc es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Formulación del teorema
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también esrepresentado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
donde recibe el nombre de coeficiente binomial yrepresenta el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
EjemploComo ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de pascal:
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el casoanterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un productovacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:...
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. Deacuerdo con el teorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a decada término es un número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
El coeficiente a en eltérmino de xbyc es conocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Formulación del teorema
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también esrepresentado ocasionalmente como o ) se obtiene la siguiente representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
donde recibe el nombre de coeficiente binomial yrepresenta el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
EjemploComo ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triángulo de pascal:
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el casoanterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teorema generalizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(el k = 0 es un productovacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:...
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