Oviedo Envolvente

Departamento de Estadística y Matemática
Documento de Trabajo Nº 5

Facultad de Ciencias Económicas
Universidad Nacional de Córdoba

El Teorema de la Envolvente y sus
Aplicaciones en Economía

Jorge Mauricio Oviedo 1

Resumen: El presente trabajo tiene por objetivo desarrollar con un
enfoque matemático el Teorema de la Envolvente de gran utilización
en la Teoría Económica. Se encuentra en elmismo una explicación
que conecta los resultados teóricos con la intuición geométrica que
da nombre al mismo. Los famosos lemas de Hotelling, Shephard y de
Roy se deducen como ejemplos de aplicación. El clásico problema
de la envolvente de los Costos Medios de Corto Plazo se encuentra
también fundamentado matemáticamente en este ensayo.

Palabras clave: Optimización, Función Lagrangeana, Función deValor, Condición de Primer
Orden, Multiplicadores de Lagrange, Efectos Directos, Efectos Indirectos.

1

joviedo@eco.unc.edu.ar

1.- Teorema de la Envolvente: Caso Optimización Libre

max f = f (x, a)
x

De las condiciones de primer orden se tiene que:

fx (x, a) = 0
Vía el teorema de la función implícita y bajo el supuesto de que fxx sea distinto de cero se tiene que:

x* = x(a)
Sustituyendo estaexpresión en la función objetivo para obtener así la función indirecta o función de
valor queda:

V (a) = max f (x, a) = f *[x(a), a]
x

Si uno observa la función de valor puede deducir que un cambio en los parámetros afecta a V por
dos canales. Un canal directo, descripto por la funcionalidad de f con respecto a a y un canal
indirecto, ya que a también repercute sobre la elección optima y estavía la dependencia de f con
respecto a x.
Derivando luego con respecto al parámetro a a obtiene:

dV (a)
= fx [x(a), a]x '(a) + fa [x(a), a]
da
Si se recuerda la condición de primer orden la expresión se simplifica a:

dV (a)
= fa [x(a), a]
da

Ese resultado establece que ante una variación en el parámetro la función de valor solo se ve
afectada por el efecto directo sobre f. El efecto indirectodesaparece pues si bien un cambio en a
afecta a x, x tiene prohibido afectar a f a raíz de que fx es cero en virtud de la optimalidad de x. Al
romperse el canal de los efectos indirectos solo el efecto directo sobrevive.
Este teorema tiene una magnifica interpretación geométrica. Si se graficase la función de valor
V(a)colocando a sobre las abcisas y en el mismo plano se graficasen varias funcionesobjetivos
f(x,a) (una para cada valor de x2) se podría observar que la función de valor se encuentra por
definición siempre por encima de las demás funciones excepto en el caso en que los valores de a y x
son tales que x es el optimo que maximiza f para el valor de a considerado en las abcisas. En ese
único caso la función de valor, V(a), y la función objetivo, f[x(a),a], se tocan en ese puntosiendo en
consecuencia tangentes. Al ser tangentes tienen la misma pendiente y esa pendiente es precisamente
fa[x,a] para la gráfica de f[x(a),a] ya que el valor de x está fijado para esa grafica en particular.
Entonces es justamente el hecho de que cada curva de la función objetivo (no maximizada) sea
tangente a la función de Valor en un único punto, y todos los demás valores se encuentren pordebajo, lo que hace que se verifique el teorema demostrado anteriormente. Ahora bien,
geométricamente, la función de valor es pues la envolvente superior de cada una de las funciones
objetivos, estando constituida por un único punto de cada una de ellas (en donde se verifica que x es
el optimo para el valor correspondiente de a), y es esa propiedad de envolvente lo que demuestra el
teorema y lo que dapues su nombre.

1.2.- Aplicaciones en Economía:

La Envolvente de Costos Medios De Corto Plazo:
Un tópico clásico en microeconomía es hallar el tamaño de planta óptimo que permite producir un
determinado nivel de producción a un costo unitario mínimo. Cuando se permite variar el tamaño de
la planta de producción, simbolizada por la variable capital (k), se supone que se está en un
horizonte de...