Péndulo físico

Laboratorio 1 P´ndulo f´ e ısico
1.1 Objetivos

1. Estudiar el comportamiento del p´ndulo f´ e ısico. 2. Determinar la aceleraci´n de la gravedad. o

1.2

Preinforme

1. Exprese y explique el teorema de ejes paralelos. 2. ¿A qu´ se denomina radio de giro?. Expr´selo en t´rminos del momento de e e e inercia para un eje que pase por el centro de masa (C.M.).

1.3

Fundamento Te´rico oUn p´ndulo f´ e ısico es un cuerpo r´ ıgido que puede girar libremente alrededor de un eje tal como se muestra en la Figura (1.1). Cuando el cuerpo se separa de la posici´n o de equilibrio y se suelta, presentar´ un movimiento oscilatorio. Empleando la a ecuaci´n de la din´mica rotacional: o a τA = IA α se puede hallar la ecuaci´n de movimiento; donde: o τA : Momento o torque alrededor de A(An´logo rotacional de la fuerza). a IA : Momento de inercia del cuerpo alrededor de A (An´logo de la masa). a α: Aceleraci´n angular del cuerpo (An´logo de la aceleraci´n lineal). o a o (1.1)

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´ 1.3. FUNDAMENTO TEORICO

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Figura 1.1: Diagrama de fuerzas p´ndulo f´ e ısico. → El peso del cuerpo M − , aplicado al centro de masa, produce un momemto respecto g a un eje de rotaci´n que pasapor el punto A, dado por: o τA = h × M g Donde: M : Masa total del cuerpo r´ ıgido. h: Distancia entre el punto de suspensi´n A y el centro de masa. o Utilizando la definici´n de producto vectorial y tomando como positivo el movimiento o de rotaci´n en sentido contrario al de las manecillas del reloj, se obtiene: o (1.2)

→ − → Siendo ϕ el ´ngulo entre los vectores h y M − a g De la defini´n deaceleraci´n angular tenemos: o o

τa = −M ghsenϕ

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´ LABORATORIO 1. PENDULO F´ ISICO d2 ϕ dt2

α=ϕ= ¨ Entonces de (1.1) y (1.2):

M ghsenϕ IA Para peque˜as oscilaciones se asume v´lida la aproximaci´n: n a o α=ϕ=− ¨ senϕ ∼ ϕ = con lo cual: ϕ+ ¨ definiendo: ω2 ≡ se obtiene: ϕ + ω2ϕ = 0 ¨ M gh ϕ=0 IA M gh IA (1.3)

(1.4)

La cual tiene la misma estructura de la ecuaci´n del osciladorarm´nico , donde ω o o es la frecuencia angular de oscilaci´n. o como: 2π ω= T el per´ ıodo de oscilaci´n ser´: o a IA M gh

T = 2π Utilizando el teorema de ejes paralelos:

(1.5)

IA = I0 + M h2 Donde I0 es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masa (C.M).
2 Por definici´n I0 = M K0 , con lo cual: o

´ 1.3. FUNDAMENTO TEORICO
2 IA = M K0 + M h2

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siendoK0 es el radio de giro. Volviendo a (1.5) se tiene en definitiva la siguiente expresi´n para el per´ o ıodo de oscilaci´n del p´ndulo f´ o e ısico: T = 2π
2 K0 + h2 gh

(1.6)

Esta ecuaci´n expresa el per´ o ıodo en t´rminos de la geometr´ del cuerpo. Ella muese ıa tra que T es independiente de la masa, dependiendo unicamente de la distribuci´n ´ o de masa medida por K0 y de la localizaci´n aleje de suspensi´n (especificado por o o h). Ya que K0 para cualquier cuerpo r´ ıgido es una constante, el per´ ıodo T de cualquier p´ndulo f´ e ısico es funci´n s´lo de h. o o

Recordando la ecuaci´n del p´ndulo simple: o e T = 2π L g (1.7)

al compararla con la ecuaci´n (1.6) se observa que el per´ o ıodo de un p´ndulo f´ e ısico suspendido de un eje a una distancia h del centro de gravedad esigual al per´ ıodo de un p´ndulo simple, de longitud dada por: e
2 K0 + h2 K2 =h+ 0 (1.8) h h El p´ndulo simple cuyo per´ e ıodo es el mismo que el dado por un p´ndulo f´ e ısico, es llamado p´ndulo simple equivalente. e

L=

Es conveniente especificar la localizaci´n del eje de suspensi´n que pasa por el o o punto A, en t´rminos de la distancia s desde uno de los extremos de la barra (a), een lugar de su distancia h medido desde el centro de masa. Si las distancias s1 , s2 y D (Fig. 1.2) son medidas desde el extremo superior, la distancia h1 debe ser considerada negativa ya que h es medida desde el C.M. Asi si D es la distancia fija desde extremo superior (a)de la barra al C.M., s1 = D + h1 s2 = D + h2

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´ LABORATORIO 1. PENDULO F´ ISICO

Figura 1.2: Distancias a medir....