Péndulo Invertido


DESARROLLO
1. Desarrollar la ecuación (1)


Se determina la segunda derivada de la posición del péndulo, dada por la relación (x-Lsenθ) para obtener el valor de θ´´.
Esta relación representa la posición total a la cual se encuentra el péndulo con respecto al carro.









Con la relacion anterior se obtiene la ecuacion que definira el primer grado de libertad del sistema.Sustituyendo se obtiene la ecuación en forma general:








Segundo grado de libertad: ecuación 2:




2. Obtener la aproximación lineal del sistema completo de dos grados de libertad.

Se define a θ con valores muy pequeños, tanto que se cumpla la relación cos (θ) =1 y sen θ=0, sim embargo el ángulo formado por el péndulo no es totalmente nulo, por tanto se dejaraexpresado de la forma sen (θ)=θ.
Volviendo a expresar las ecuaciones 1 y 2:



3. Simular ambas aproximaciones y comparar resultados expresando sus comentarios al respecto. La simulación se desarrolla con entrada nula y dos casos de condiciones iniciales: x=0, θ=0 y x=0, θ=0.1, mostrando como salidas ambas coordenadas.

Para realizar el análisis de los estados, se despejan ambas ecuaciones,dejando una en función de la otra:









Para el segundo caso: x=0, θ=0.1, lo que se espera es que el sistema presente un desequilibrio, el hecho de que θ presente un valor diferente de cero, provocara que si exista una aceleración θ´´, originando que el péndulo comience a moverse.










4. A partir del modelo linealizado obtenido en el paso 2, expresar el modelo en elespacio de estados considerando como estados x1=y, x2= ˙y, x3=θ, x4=˙θ con salida y=θ
Con las ecuaciones despejadas de θ´´ y x´´, se origina lo que se conoce como el espacio de estados, generando un arreglo matricial de la forma q´= Aq+Bu:




Este espacio de estados nos ayudara a definir de manera más directa el comportamiento del sistema en sus distintos valores.



5. Desarrollar unanálisis de estabilidad considerando que M=1, m=0.5, g=9.81, l=0.5.

Para determinar si el sistema es estable se utiliza lo que se conoce como polinomio característico de la forma [ϒI-A] donde A es la primera matriz del espacio de estados y ϒI permite encontrar sus valores propios, se dice que la matriz A es asintóticamente estable si todos sus valores propios tienen parte real negativa.Haciendo el desarrollo del polinomio característico con los valores especificados para las masas y la longitud del péndulo, encontramos que el sistema no es estable, ya que no todos sus valores propios tuvieron parte real negativa:

ϒ1=0
ϒ2=0
ϒ3=5.42
ϒ4=-5.42

Esto demuestra lo que se observó en la segunda gráfica, el sistema no presenta ninguna estabilidad después de que se le aplicancondiciones iniciales distintas de cero.


6. Qué sucede con el análisis del punto 5 cuando l=0.05?

Lo que se espera que el sistema realice al reducir el tamaño de la varilla del péndulo es que se presente un menor movimiento, el sistema seguirá inestable pero lo hará de una forma menor, al realizar el análisis con MATLAB se comprueba lo anterior.






Las variaciones exponenciales que sepresentaban al principio ya no son tan prolongadas.




7. Considerando como referencia r=0, diseñar una retro de estados de tal manera que se logre el objetivo de control de manera estable. Para la asignación de polos, se puede usar el comando PLACE en Matlab, para dos diferentes: (-0.5, -0.5, -0.2, -1) y (-1.5+1j, -1.5-1j, -2+0.5j, -2-0.5j,).

Como ya se observó el sistema del péndulo no esestable, sin embargo, si es controlable, aplicando la retro de estados de forma que ahora la entrada u este definida como u=r-KX, se genera una nueva entrada que provocara la estabilidad deseada del sistema. Usando el comando PLACE, se origina la matriz K que definirá la estabilidad del péndulo, usando en primer lugar:

p= (-0.5, -0.5, -0.2, -1) se obtiene que K= [-0.0015 -0.0156...