Péndulo simple, amortigüado y forzado.

Estudio num´ rico de un p´ ndulo simple e e
Germ´ n Guillermo Theler* a
Instituto Balseiro (Dated: 8 de noviembre de 2004) En el presente trabajo resolveremos num´ ricamente las ecuaciones de movimiento de un p´ ndulo simple, y e e las compararemos con datos experimentales. As´ mismo, modelaremos diferentes mecanismos de disipaci´ n de ı o energ´a y construiremos diagramas de fase para estasdiferentes condiciones de rozamiento. ı ´ INTRODUCCION

I.

Definimos el vector de estado de las fases como

a menos de una constante multiplicativa en la segunda componente. Su evoluci´ n temporal est´ dada por la ecuao a ci´ n (2), y vale o

II.

´ PENDULO SIN ROZAMIENTO

que nos conduce a la ecuaci´ n de movimiento o

(1)

* Electronic

address: thelerg@ib.cnea.gov.ar

Figura1: P´ ndulo simple. e

g

Para poder resolver esta ecuaci´ n num´ ricamente con el o e m´ todo de Runge–Kutta debemos primero linealizarla. Si hae cemos

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Sea nuestro sistema una masa en el extremo de una barra sin masa de longitud como se ilustra en la figura 1. Si no existe rozamiento, podemos escribir el Lagrangiano

Para comparar nuestrosresultados num´ ricos y estrictae mente te´ ricos con datos experimentales, tomaremos la lono gitud coincidente con la longitud del p´ ndulo de grandes amplitudes estudiado por G. Moreno [2], e y usaremos el valor de aceleraci´ n de la gravedad o

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El p´ ndulo simple es el sistema oscilante por excelencia esetudiado en la mayor´a de los cursos de f´sica elemental (y no ı ı tanto), principalmente por la facilidad con la que se resuelven sus ecuaciones de movimiento. En realidad, estas benignas f´ rmulas a las que estamos acostumbrados —que provienen o de desarrollar el potencial a segundo orden— dejan de ser tan atractivas si se las intenta resolver sin aproximaci´ n alguna. o En el presente trabajoestudiaremos num´ ricamente (utilie zando el m´ todo de Runge–Kutta de cuarto orden) el compore tamiento te´ rico de un p´ ndulo simple —al que llamaremos o e p´ ndulo num´ rico— seg´ n sus ecuaciones (sin aproximar) de e e u movimiento, y compararemos estos resultados con datos experimentales de lo que denominaremos, en un ataque de genialidad, p´ ndulo real. e Comenzaremos resolviendo nuestro p´ndulo num´ rico pae e ra el caso conservativo donde no hay rozamiento, agregando luego alguna forma de disipaci´ n de energ´a compatible con o ı mediciones experimentales sobre el p´ ndulo real, para finalie zar calculando la dependencia del per´odo de oscilaci´ n con ı o el angulo de m´ xima amplitud. ´ a

reemplazando en la ecuaci´ n (1), tenemos o

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(2) del sistema en el espacio

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Como queremos comparar los resultados num´ ricos con los e experimentales [2], necesitamos modelar alg´ n mecanismo de u disipaci´ n de energ´a. Una forma de atacar este tipo de sisteo ı mas disipativos es suponer una fuerza viscosa proporcional y opuesta a la velocidad [1]. Entoncesdebemos reescribir la ecuaci´ n (1) agregando un t´ rmino lineal correspondiente a la o e fuerza de rozamiento generalizada

(3)

y “medimos” (contamos ser´a un verbo m´ s apropiado) ı a cu´ nto tiempo tarda el p´ ndulo num´ rico en pasar por el oria e e gen con velocidad negativa. Estos resultados, comparados con el p´ ndulo real, se muestran en la figura 7, donde vemos que e los datosexperimentales coinciden, dentro del error, con los datos num´ ricos. e
V. ´ CONCLUSION

(4)

No tenemos ninguna informaci´ n sobre el coeficiente ni o sobre , pero intuimos que no ser´ muy diferente de , y a deber´ ser cercano a . a seg´ n u Resolviendo la evoluci´ n del sistema o

El resultado m´ s importante que obtuvimos fue el hecho de a de que una fuerza dispativa proporcional a la potencia la...