P1solucion

Universidad Austral de Chile
Centro de Docencia Superior de Ciencias B´asicas.

Prueba 1
Docente: Sebasti´an Valenzuela F.
17 abril 2015

1. Sea G = (Z, +), donde + es la suma habitual.
a) Si H1 =< 2> y H2 =< 3 >. Determine H1 ∩ H2 y pruebe que es un subgrupo de G.
b) ¿ Es H1 ∪ H2 un subgrupo de G ?
2. Dado el conjunto
a
0

M=

0
a

∈ M2 (R) : a ∈ R − {0}

y el grupo G = (M, ∗) donde ∗ es lamultiplicaci´on usual de matrices.
Se define la funci´
on
f

:

→ (R − {0}, ·)

G
a
0

0
a

→

a2

a) Pruebe que f es un homomorfimo de grupo.
b) Calcule ker f e Im f .
c) ¿ Es f un isomorfismo de grupos?
3. Para el anillo (Zn , +, ·) con las operaciones suma y producto usuales m´odulo n.
a) Pruebe que para todo n ∈ N, n ≥ 2, 1 y n − 1 son unidades en (Zn , +, ·).
b) Muestre expl´ıcitamente unanillo (Zn , +, ·), donde las u
´nicas unidades sean 1 y n − 1 con 1 = n − 1.
c) Resuelva, si es posible, la ecuaci´on 2x73 + 1 = 0 en el anillo determinado en el ´ıtem anterior.
Indicaciones:
Cadapregunta tiene un puntaje total de 2.0 puntos.
Sea claro y ordenado en su desarrollo.
Justifique adecuadamente todas sus respuestas.
No se permite el uso de calculadora.
No hay consultas.
Tiempo: 90minutos.

”Para ser exitoso no tienes que hacer cosas extraordinarias: has cosas ordinarias extraordinariamente bien.”

Universidad Austral de Chile
Centro de Docencia Superior de Ciencias B´asicas.Soluci´
on Prueba 1
Docente: Sebasti´an Valenzuela F.
17 abril 2015

1. Sea G = (Z, +), donde + es la suma habitual.
a) Si H1 =< 2 > y H2 =< 3 >. Determine H1 ∩ H2 y pruebe que es un subgrupo de G.
Sol: Esclaro que H1 ∩ H2 =< 6 >= { 6z : z ∈ Z } = 6Z.
0 = 0 · 6, entonces 0 ∈ H1 ∩ H2 .
Sea a = 6·z1 , b = 6·z2 para algunos z1 , z2 ∈ Z. Entonces a+b = 6·z1 +6·z2 = 6·(z1 +z2 ) ∈ 6Z.
Si a = 6 · z1 , z1 ∈ Z,entonces −z1 ∈ [Z] y luego a · (−z1 ) = −a ∈ 6Z.
De lo anterior, < 6 > < G.
b) ¿ Es H1 ∪ H2 un subgrupo de G ?
Sol: No es un subgrupo, pues 2 ∈< 2 >, 3 ∈< 3 >, pero 2 + 3 = 5 ∈
/ H1 ∪ H2 .
2. Dado...