Paco

Cálculo 1

Funciones
Una función f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x).

    

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son:la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas- Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x – 2

Funciones implícitas- Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas-Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes- El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta inclinada,que queda definida por dos puntos de la función.
Ejemplos: Función afín, Función lineal y Función identidad.

Funciones cuadráticas- Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx +c

Funciones a trozos- Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Ejemplos: Funciones en valor absoluto, Función parteentera de x, Función mantisa, Función signo.

Funciones racionales- El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales- El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una funciónirracional par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes- La variable independiente como exponente, o como índice de la raíz, es afectada por el signo del logaritmo o cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hacecorresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Función seno
f(x) = sen x

Función coseno
f(x) = cos x

Función tangente
f(x) = tg x

Función cosecante
f(x) = cosec x

Función secante
f(x) = sec x

Funcióncotangente
f(x) = cotg x

Función seno



Dominio: 
Recorrido: [−1, 1]
Período: 2 rad

Continuidad: Continua en 
Impar: sen(−x) = −sen x

Derivadas

La derivada se representa cómo una función que cambia en el valor de la variable dependiente a medida que cambia el valor de la variable independiente.

Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en elpunto x = a es el valor del límite de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplo: la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

Teorema de Lagrange 
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal que:

Teorema de Rolle 
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) =f(b), hay algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0.

Formulas para derivar

Derivada de una constante

Derivada de x
Derivada de función afín

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de constante partida por una función

Derivada de un cociente

Derivadas...