Padre rico Padre pobre

universidad José Antonio Páez
facultad de ingeniería
ecuaciones diferenciales


TEMA 4
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA (E.D.O) LINEAL DE ORDEN SUPERIOR DE COEFICIENTES CONSTANTES
Una E.D.O lineal de orden con coeficientes constantes tiene la forma
(1.1)
la cual, también se puede escribir de la siguiente manera(1.2)
en donde los coeficientes i = 0,1,2,…,n son constantes, y será continua en un intervalo abierto. Si se dice que (1.1) es una ecuación lineal homogénea
(1.3)
en cambio si la ecuación es no homogénea o completa.
En cursos previos, se ha establecido que, , es un operador o transformación lineal, es decir
En elestudio de la ecuación lineal de orden n (1.1) se utilizarán los operadores lineales , los cuales definen la operación de derivar de la manera siguiente

Mediante esta notación se puede escribir la ecuación (1.1) como
(1.4)
debido a que es un operador lineal, también lo es, y como todos estos operadores son aplicados a la misma función, entonces(1.4) puede escribirse como


o bien para abreviar la ecuación (1.1) puede escribirse como
(1.5)
y, en particular, una ecuación diferencial homogénea puede expresarse como(1.6)
considerando el operador diferencial lineal P(D) de orden n como un polinomio simbólico en D, con todas las propiedades inherentes a los polinomios algebraicos, mientras que indicará el conjunto de operaciones a realizar con la función y.
Por ejemplo:
E.D.O lineal de segundo orden de coeficientes constantes no homogénea
E.D.O lineal de segundo orden de coeficientes constanteshomogénea



DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA E.D.O LINEAL DE ORDEN SUPERIOR COMPLETA
TEOREMA
Si yp es una solución particular de la E.D.O completa, esto es, y yc es la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada, esto es, , entonces la solución general de la E.D.O completa es

Existen varios métodos para hallar la solución particular de una ecuación diferencial nohomogénea; sin embargo, en este curso sólo se abordarán el método del operador inverso.

PROPIEDADES DEL OPERADOR LINEAL P(D)
1.
2.
3.

APLICACIONES DE P(D) A ALGUNAS FUNCIONES QUE DEPENDEN DE x
Se evaluará la aplicación del operador lineal a las funciones donde a es una constante y v una función de x que admite derivada hasta el orden n; a través de las siguientes formulas:
1.2.
3.
4.
5.
EL OPERADOR INVERSO 1/P(D)
Dado el operador P(D), se dice que F(D) es el operador inverso de P(D), si , siendo I la aplicación identidad. En lugar de F(D), suele denotarse .
Debido a que , es natural designar

ya que ;
De modo que para resolver la ecuación
se aplica el operador inverso 1/D en ambos miembros

o sea,

NOTA: en la determinaciónde una solución particular se omiten las constantes de integración que introduce el operador inverso debido a que el intéres reside en buscar soluciones particulares de la ecuación diferencial completa , por lo que esas constantes de integración solo formarán parte de la solución complementaria.
El operador inverso análogamente indicará k integraciones

PROPIEDADES DEL OPERADOR INVERSO LINEAL1/ P(D)
1.
2.
3.

APLICACIONES DE 1/ P(D) A ALGUNAS FUNCIONES QUE DEPENDEN DE x
Se evaluará la aplicación del operador inverso 1/P(D) a las funciones donde a es una constante y v una función de x que admite derivada hasta el orden n; a través de las siguientes formulas:
1.
2. Siendo k el orden de multiplicidad del factor (D - a) que anula a P(D) y
3.
4. Siendo k el orden...