Paeg Matematicas2 Clm Junio 2011

PROPUESTA A

1A. Dada la función f ( x) 

4 x 2  3x  4
, se pide:
2x

a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x). (1,25 puntos)
b) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x). (1,25 puntos)

2A. Calcula las siguientes integrales:
a)

b)

 (cos(2x)  sen x  cos x) dx . (1,25 puntos)


x3 1
dx . (1´25 puntos)
x2

5
 4
 0 1
 y B  
3A. Dadas las matrices A    3  4
1 0

a) Resuelve el sistema matricial


 , se pide:


2 X  3Y  A
 . (1,25 puntos)
X  Y  B

b) Encuentra una fórmula general para Bn, donde nN. (Indicación: Calcula las primeras potencias
de la matriz B) (1, 25 puntos).
 x  1  at

4A. Consideremos el plano   x – z = 0 y la recta r   y  1  t , t  R.
z 
2t


a) Determina el parámetro a  R para que la recta r y elplano  sean paralelos. (1,25 puntos)
b) Para el valor de a determinado, obtén las ecuaciones paramétricas de una recta r´ paralela al
plano π y que corte perpendicularmente a r en el punto P(1, 1, 0). (1,25 puntos)

PROPUESTA B

1B. En cierto experimento la cantidad de agua en estado líquido C(t), medida en litros, está
determinada en función del tiempo t, medido en horas, por la expresión:

C(t ) 

2
10 240
 10t   3 ,
3
t
t

t  [ 1, 10 ]

Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene,
en el intervalo comprendido entre t = 1 y t = 10 horas. (2,5 puntos)

2B. a) Representa gráficamente la región del primer cuadrante limitada por las funciones
1
1
f ( x)  , g ( x)  2 y la recta x = 2. (0,5 puntos)
x
x
b) Calcula el área de dicharegión. (2 puntos)
3B. a) Clasifica, en función del parámetro λ  R, el sistema de ecuaciones:

x  2 y  z   


3x  y  z  1 
5 x  y  2 z  3

(1,5 puntos)
b) Resuélvelo, si es posible, para λ = 2. (1 punto)
4B. Dados los puntos de coordenadas A(0, 1, 0), B(1, 2, 3), C(0, 2, 1) y D(k, 1, 1) donde k  R:
a) Determina el área del triángulo de vértices A, B y C. (1 punto)
b) ¿Para quévalores del parámetro k el tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D tiene volumen
de 5 u3? (1,5 puntos)

2

SOLUCIONES A LA PROPUESTA A

1A. Dada la función f ( x) 

4 x 2  3x  4
, se pide:
2x

a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x). (1,25 puntos)
b) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x). (1,25 puntos)
Solución.
a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas def(x). (1,25 puntos)
Las asíntotas verticales se obtienen de anular el denominador en la expresión simplificada de la
función. En nuestro caso, la expresión de la función no se puede simplificar más. Por lo tanto,
anulando su denominador:
2x = 0  x = 0
Por lo tanto, x = 0 es la única asíntota vertical de la función f(x).
Por otra parte, la función f(x) va a tener una asíntota oblicua porque el gradodel numerador
supera en uno al grado del denominador. Esta asíntota viene descrita por y = mx + n donde,
m  lim

x  

f ( x)
x

n  lim [ f ( x)  mx ]
x  

Calculamos el parámetro m:

f ( x)
m  lim
 lim
x  
x  
x

4 x 2  3x  4
2x
x

4 x 2  3x  4 
 lim

( Ind )
x  

2x 2

Puesto que los grados de numerador y denominador son iguales, tendremos que la
indeterminaciónanterior se resuelve mediante el cociente de los coeficientes de grado máximo,

m  lim

x  

4 x 2  3x  4 4
 2
2
2x 2

Por otra parte, para el parámetro n tendremos que,
 4 x 2  3x  4

 4 x 2  3x  4  4 x 2 
n  lim [ f ( x)  mx ]  lim 
 2 x   lim 

x  
x  
2x
2x

 x   


 3x  4  
 lim 

x  
 2x  
3

Nuevamente, los grados de numerador y denominadorson iguales por lo que tendremos que la
indeterminación anterior se resuelve mediante el cociente de los coeficientes de grado máximo,

m  lim

x  

3x  4 3

2x
2

Por lo tanto, la única asíntota oblicua de la función f(x) es y  2 x 

3
2

b) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x). (1,25 puntos)
Calculamos los extremos relativos a partir de la primera derivada f´(x).

f...