PAEG RESUELTO 2012/2013 uclm

MATEMÁTICAS
2º bachillerato

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PROPUESTA A
1A.

a) Enuncia el Teorema de Bolzano. (0,5 puntos)

b) Razona que las gráficas de las funciones f(x) = 3x5 - 10x4 + 10x3 +3 y g(x) = ex se
cortan en algún punto con coordenada de abscisa entre -1 y 0. (1 punto)
c) Calcula los puntosde inflexión de f(x). (1 punto)
a) Teorema de Bolzano

b) Para que se corten las funciones f(x) y g(x) se debe cumplir:
3x5 - 10x4 + 10x3 +3 = ex

(1)

h(x) = 3x5 - 10x4 + 10x3 +3 - ex
Si se cumple el teorema de Bolzano en esta nueva función, h(x), que hemos formado
podemos decir que se cumple la igualdad (1) y por tanto las funciones se cortan.
1º La función h(x) es continua para todox que pertenece a ℝ. Luego es continua en [-1,0]
2º

c)

f’(x) = 15x4 – 40x3 + 30x2
f’’(x) = 60x3 - 120x2 + 60x  x3 - 2x2 + x

x3 - 2x2 + x = 0

x3 - 2x2 + x = 0
f’’’(x) = 180x2 - 240x + 60

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2A. Calcula el valor del parámetro a
ℝ, a > 0, para que el valor (en unidades de
superficie) del área dela región determinada por la parábola f(x) = -x2 + a2 y el eje de
abscisas, coincida con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de
abscisa x=-a. (2,5 puntos)
1º Pendiente de la recta tangente
(1)
2º Área:
a) En primer lugar calculamos los puntos de corte con el eje x, haciendo f(x) = 0:
-x2 + a2 = 0  x2 = a2  x = ±a
b)
(2)

3º Igualamos las ecuaciones (1)y (2)

La solución válida es

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, ya que el enunciado dice que a > 0

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3A.

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a) Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden 2 que cumplan:
- Su suma es la matriz identidad de orden 2.
- Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz:

(1,5 puntos)
b) Si M es una matrizcuadrada de orden 2 tal que |M| = 7, razona cuál es el valor de
los determinantes |M2| y |2M|. (1 punto)
a)
Condición 1: (A) + (B) = (I) 

Condición 2: (A) - (B) = (traspuesta de la
dada) 

De esta condición obtenemos las siguientes
ecuaciones:
1234-

De esta condición obtenemos las siguientes
ecuaciones:
5678-

Formamos y resolvemos los sistemas de ecuaciones: 1-5; 2-6; 3-7 y 4-8:Por tanto las matrices solicitadas son:
b) Una propiedad de los determinantes dice: “El determinante del producto de dos
matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de dichas
matrices”, en nuestro caso: |M2| = |M·M| = |M|·|M| = 7·7 =
Otra propiedad de los determinantes dice: “Si multiplicamos todos los elementos de una
matriz cuadrada de orden n por unnúmero k, su determinante queda multiplicado por kn”,
en nuestro caso: |2M| = 22·|M| = 4·7 =
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4A.

a) Estudia la posición relativa del plano

≡ x – y – z = a y la recta

en función del parámetro a

≡

b) Calcula la distancia entre

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ℝ. (1,25 puntos)

y r para cada valor de a

ℝ. (1,25 puntos)

a)Para estudiar la posición entre recta y plano vamos a utilizar las matrices y calcular el
rango de la matriz de los coeficientes (A) y el rango de la matriz ampliada (A+):

Por tanto el r(A) =

Por tanto el R(A+) = 3 (no hay un único valor de a que pueda hacer cero 5+a y a)
Posición de plano y recta:
b) Calculamos la distancia cuando están paralelos.
Utilizamos la fórmula
recta, dándolevalores a dos de las variables

. En primer lugar obtenemos un punto de la
≡

, Si z=0 y x=0  y=0. Por

tanto P(0,0,0)

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PROPUESTA B
1B.

a) Calcula los valores de los parámetros a, b

ℝ para que la...