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DIFERENCIAL

µ
∆y
dy

∆x = dx
Si una función y = f(x) admite derivada finita en un punto su incremento puede
expresarse como ∆y = f ’(x) ∆x + ε ∆x , siendo ε un infinitésimo para ∆x → 0.
Al primer término se lo llama “diferencial y”, cuya notación es dy = f ‘(x) ∆x.
Como el incremento de la variable independiente es igual a su diferencial tenemos que
∆x = dx, entonces dy = f ‘(x) dx
Observando lafigura vemos que ∆y – dy = µ = ε∆x = εdx → 0 “más rápido” que dy en
la medida que ∆x = dx → 0 (por ser un infinitésimo de orden superior)
Definición: La diferencial de una función en un punto es el incremento de la
ordenada de la tangente en ese punto.

Por lo tanto la variación de una función se puede expresar como el producto de su
derivada en el punto por variación de su variable independienteen dicho punto.
Ejemplo: Dado un prisma recto de base rectangular de dimensiones: largo: 4x + 2,
ancho: 3x y altura: 2x +5. Calcular cuánto varía su volumen cuando x varía en 0,01.
V(x) = (4x +2) (3x) (2x + 5) = 24x3 + 72x2 + 30x
V ‘(x) = 72x2 +144x + 30
dV = V‘(x) dx = (72x2 +144x + 30) × 0,01
Para fijar ideas, si el valor de x fuera originalmente 5, el volumen sería V(5) = 4950
Ahoraincrementamos x en 0,01 ⇒ x = 5, por lo tanto el aumento de volumen será
dV = V ‘(5) × 0,01 = 25,5
Esto quiere decir que el volumen aumentó en 25,5 ⇒ V(5,01) ≈ 4975,5 (4975,54)
Cuanto más pequeño sea el incremento de x, más exacto será el valor del incremento dy
calculado. (error de aproximación)

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INTEGRALES
Durante el curso hemos visto que dada una función f podemos encontrar su derivada f ‘,
encambio hasta ahora no nos hemos preguntado cuál es la función F cuya derivada es f.
Dicha función F es la primitiva de f o sea que se cumple que F’ = f.
Si bien encontrar la derivada de una función es un proceso sencillo, no así lo es el
proceso inverso al que llamaremos integración.
x2
+ C donde C es una constante. (compruebe
Ejemplo: si f(x) = x ⇒ F(x) =
2
derivando a F )
x2
NOTACIÓN ∫ x dx = F(x) =+ C (integral indefinida)
2
La constante C puede determinarse si se conocen “datos complementarios”, pues
vemos que cualquiera sea el valor de la constante, si derivamos a la función primitiva
obtenemos la función integrando.
“dx” es lo que llamaremos diferencial x y expresa a la variable con respecto a la cuál se
integra.
y2
x2
Ejemplo: a) ∫ xy dx =
y + C sin embargo ∫ xy dy = x
+C
2
2
3x 2
b) ∫3x + 2 y + 1 dx =
+ 2 yx + x + C
3x + 2 y + 1 dy = 3xy + y 2 + y + C
∫
2

dy
= y' ⇒ dy = y' dx si integramos ambos
dx
miembros de la igualdad tendremos ∫ 1 dy = ∫ y' dx ⇒ y + C = y + C ⇒ y = y

OBSERVACIÓN: recordando que

Asumiremos como válidas las siguientes propiedades:
1) ∫ k u dx = k ∫ u dx (k = constante)

2) ∫ u + v dx = ∫ u dx + ∫ v dx

3) ∫ u ' v dx = uv − ∫ u v' dx (integración porpartes)

Ejemplo:
2
2
2
∫ 3x + 5x dx = ∫ 3x dx + ∫ 5 x dx = 3∫ x dx + 5∫ x dx = 3

x3
x2
+ C + 5 + C' =
3
2

x2
x + 5 + C' ' siendo C ‘’= C + C ‘ (propiedades 1 y 2)
2
3

1

∫ L( x ) dx = ∫ 1.L( x ) dx = xL( x ) − ∫ x. x dx = xL( x ) − x + C

(propiedad 3)

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Nociones sobre Integral definida

Debo aclarar que lo haremos en forma intuitiva y nos permitiremos algunas “libertades”
con el fin defacilitar su comprensión.
Nos proponemos a calcular el área “bajo la curva” f, el eje horizontal y desde a hasta b.
O sea el área del “trapezoide” (a, 0) (a, f(a)) (b, f(b)) (b, 0) a la que llamaremos A
Como no existe ninguna fórmula sencilla que pueda calcularla optamos por hacer una
partición del intervalo [a,b] en n intervalos ∆x iguales (para hacerlo más sencillo) y
hallar el área de las fajas comola 3 y sumarlas. Nuevamente nos encontramos que no
existe una fórmula sencilla para dicho cálculo. Sin embargo vemos que podemos
calcular el área de rectángulos como el 1, ∆x × f(xi) (área por defecto) o de rectángulos
como el 2, ∆x × f(xi+∆x) (área por exceso). El área buscada estaría comprendida entre la
suma de las áreas de los rectángulos por defecto (a la que llamaremos s) y la suma de las...