paja

Desarrollar como método un ejercicio modelo para determinar la orientación de los ejes principales y momentos principales de Inercia (Imin e Imax) de áreas planas compuestas.




Para lasección mostrada en la figura, se han calculado los valores de los momentos de inercia con respecto de los ejes ‘x’ y ‘y’ , se sabe que dichas cantidades son iguales a:
Ix­ = 10,38 in4 ; Iy = 6.97in4 ­­­­
Determínese a) la orientación de los ejes principales de la sección con respecto de ‘O’ y b) los valores de los momentos principales de inercia de la sección con respecto de ‘O’.SOLUCIÓN:

Primero se calcula el producto de inercia de con respecto de los ejes ‘x’ y ‘y’. El área se divide en tres rectángulos tal y como se muestra en la figura. Se observa que para cada uno de losrectángulos el producto de inercia Ix’y’ con respecto de ejes centroidales paralelos a los ejes ‘x’ y ‘y’ es igual a cero (0). Ultilizando el teorema de los ejes paralelos
Ixy = Ix’y’ + (x.y.A)
Seencuentra que, para cada uno de los rectángulos, Ixy se reduce a (x.y.A).

Rectángulo
Área (in2)
X(in)
Y(in)
xyA(in4)
I
1,5
-1,25
+1,75
-3,28
II
1,5
0
0
0
III
1,5
+1,25
-1,75-3,28




∑xyA = -6,56
Ixy = ∑xyA = -6,56 in4

a): Ejes principales. Como se conocen las magnitudes de Ix, Iy e Ixy, se utiliza la siguiente ecuación para determinar los valores de θm:tan(2θm) = = +3,85
2θm = 75,4° y 255,4° ; entonces: θm = 37,7° y θm = 127,7°

b): Momentos principales de inercia. Utilizando la siguiente ecuación:
Imáx,mín = (Ix + Iy)/2 ±
Imáx = 15,45 in4Imín = 1,897 in4
Observando que los elementos del área de la sección están distribuidos más cerca del eje ‘b’ que del eje ‘a’, se concluye que Ia = Imáx = 15,45 in4 y que Ib = Imín = 1,897in4. Esta conclusión se puede verificar sustituyendo θ = 37,7° en las ecuaciones:
Ix’ = (Ix+Iy)/2 + [(Ix+Iy)/2].cos(2θ) ­­­­– Ixy.sen(2θ)
Y
IY’ = (Ix+Iy)/2 – [(Ix+Iy)/2].cos(2θ) ­­­­+...