Palabreria

MATEMATICAS II. 2º BACHILLERATO
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA DE SELECTIVIDAD

1. Calificación máxima 2 puntos.
Resolver la siguiente ecuación vectorial
[pic]^(2,1,-1)=(1,3,5)
Siendo [pic], donde el símbolo ^ significa “producto vectorial”.
Solución: Si (a,b,c) son las coordenadas del vector, la ecuación lleva al sistema
–b-c=1, a+2c=3, a-2b=5 ,añadiendo la condición [pic]sesacaría la solución.

2. Calificación máxima 2 puntos.
a) (1 punto) Determinar el centro y el radio de la esfera x2+y2+z2-2x+4y+8z-4=0
b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera con el plano z=0.
Solución: a) C(1,-2,-4) y R=5 b) C(1,-2) y R=3.


3. Calificación máxima 3 puntos
Sean los puntos P(8,13,8) y Q(-4,-11,-8). Se considera el plano (,perpendicular al segmento PQ por su punto medio.
a) (1 punto) Obtener la ecuación del plano (.
b) ( 1 punto) Calcular la proyección ortogonal de O(0,0,0) sobre (.
c) (1 punto) Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano ( corta a los ejes coordenados y el origen de coordenadas.
Solución: a) (: 3x+6y+4z-12=0 b) O´(36/61,72/61,48/61) c) Losvértices son O=(0,0,0), A(4,0,0), B(0,2,0) y C(0,0,3) y el volumen V=4 u3.


4. Calificación máxima 3 puntos
Sea la superficie esférica de ecuación x2+y2+z2-6x-6y-8z+9=0.
a) (0,5 puntos) Determinar su centro y su radio.
b) (0,5 puntos) Hallar la ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje 0Y.
c) (1 punto) Obtener el centro y el radio de la circunferencia que se obtieneal cortar dicha esfera con el plano z=0.
d) (1 punto) Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en su punto del eje 0X.
Solución: a) C(3,3,2) y R=[pic]. b) [pic] pasa por C y es paralela a 0Y. c) C´(3,3) y R´=3. d) P(3,0,0) y n(0,3,2), así el plano es 3y-2z=0.


5. Calificación máxima 2 puntos
Se consideran los puntos A(1,(,0), B(1,1, (-2) y C(1,-1, ().
a) (1 punto)Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor de (.
b) (1 punto) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos.
Solución: a) Det(0A,0B.OC)(0 b) S=1 u2.


6. Calificación máxima 2 puntos
Sean la recta r:[pic] y el plano [pic]
a) (1 punto) Calcular m y k para que la recta sea perpendicular al plano.
b) (1 punto) Calcular m y k para que la recta estácontenida en el plano.
Solución: a) m=-8 y k=-1/2. b) m=4 y k=-2.


7. Calificación máxima 3 puntos
Sea la parábola x2= 4y. Sean u y v las rectas tangentes a la parábola en los puntos P de abscisa a y Q de abscisa b, a(b, a(0 y b(0.
a) (1,5 puntos) Hallar las coordenadas del punto R de intersección de u y v.
b) (1 punto) Relación entre a y b para que u y v sean perpendiculares.c) (0,5 puntos) Probar que en el caso b) el punto R está en la directriz de la parábola.
Solución: a) Las coordenadas de R son ([pic]b) ab =-4 c) En b) será ab=-4 y la sengunda coordenada de R y=-1 que es la directriz de la parábola.


8. Calificación máxima 2 puntos
Los vértices de un triángulo son A(-2,-1), B(7,5) y C(x ,y).
a) (1 punto) Área del triángulo en función de x e y.b) (1 punto) Lugar geométrico de los punto (x ,y) tales que el área anterior es 36.
Solución: a) S =[pic] b) De [pic], resultan las rectas
6x-9y-69=0 y 6x-9y+75=0.


9. Calificación máxima 2 puntos
Sean A(1,1) y B(-1,1) dos puntos del plano.
a) (1 punto) Determinar las ecuaciones de todas las circunferencias que pasan por A y B razonando dónde están situados sus centros.b) (1 punto) De entre todas las circunferencias del apartado anterior hallar el centro y el radio de la que es tangente a la recta y=x.
Solución: a) Las ecuaciones son de la forma x2+y2+By-B-2=0 para B real, por lo que el centro está en el eje de ordenadas y=0. b) Para que la tangente sea y=x debe ser B=-4 y la ecuación es por tanto x2+y2-4y+2=0


10. Calificación máxima 2 puntos...