panama

1.3.

19

POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO.

1.3 Potencial escalar eléctrico.
De la ley de Coulomb, obtuvimos el campo eléctrico en
de carga

r creado por una distribución

ρ(r ),
E(r) =ρ(r )

(r − r ) 3
d r
|r − r |3

(1.59)

ρ.

donde la integral se extiende a todo el volumen donde exista
Este campo

E(r)

debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell correspondientes a laElectrostática,

× E = 0,

(1.60)

· E = 4πρ.
Para demostrar que

E(r)

(1.61)

× E = 0,

satisface la ecuación

calculemos primero la

siguiente expresión,

1
|r − r |

,(1.62)

donde

+ y−y

2

actúa sobre las coordenadas de

r,

r−r =
y el operador

x−x

2

+ z−z
no de

2 1/2

,

(1.63)

r.

Tenemos,

∂
∂x

r−r

−1

1
= − 2x−x
2
(x − x )
.
= −
|r − r |3

x−x

2

+ y−y

Similarmente,

∂
∂y

r−r

−1

∂
∂z

r−r

−1

(y − y )
|r − r |3
(z − z )
= −
,
|r − r |3
= −

2

+ z−z

3
2 −220

CAPÍTULO 1.

ELECTROSTÁTICA.

Luego,

(x − x ) (y − y ) (z − z )
,
,
|r − r |3 |r − r |3 |r − r |3
(r − r )
= −
.
|r − r |3

1
|r − r |

En particular, si

= −

(1.64)r = 0,
1
r

Un cálculo relacionado es

r,

=−

r
ˆ
r
=− 2.
r3
r

(1.65)

donde

r = x2 + y 2 + z 2

1
2

.

(1.66)

Tenemos,

∂r
1
x
= 2 x(x2 + y 2 + z 2 )−1/2 =.
∂x
2
r

(1.67)

Similarmente,

∂r
y
=
∂y
r

∂r
z
=
∂z
r

;

(1.68)

Luego,

r=

∂r ∂r ∂r
, ,
∂x ∂y ∂z

1
r
= (x, y, z) = = ˆ .
r
r
r

(1.69)

El campoeléctrico puede expresarse entonces como

E (r) =

ρ r

(r − r ) 3
d r =−
|r − r |3

Recordemos que el operador diferencial
integración

r.

1
|r − r |

ρ(r )

r,

actúa sobre

d3 r.

(1.70)

no sobre la variable de

Luego, podemos escribir

E(r) = −

ρ(r ) 3
d r
|r − r |

.

(1.71)

1.3.

21

POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO.

La expresión entre...