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LogaritmosAutora: Silvia SokolovskyPara poder entender este tema empecemos por un simple problema y veamos para que sirve estos elementos matemáticos."En un criadero de conejos cada hembra tiene cinco crías cada tres meses de gestación, si contamos a la cría de una sola pareja, indicar cuantos conejos habrá en cinco períodos de cría : 1er Período | 2do Período | 3er Período | 4to Período |5to Período |
5 | 5 + 5 = 10 | 10 + 5 = 15 | 15 + 5 = 20 | 20 + 5 = 25 |
¿Qué hacemos para calcular la cantidad de conejos en cada período?, sencillamente a la cantidad de crías del período anterior le sumamos cinco.Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de crías en las ordenadas, a partir del gráfico,podemos indicar la cantidad de crías que tendrían en cualquier período.Siendo "x" el número de períodos y "C(x)" la cantidad de crías ¿Cómo expresaríamos con una ecuación la cantidad de crías en función del tiempo (períodos)?. Los períodos sucesivos los encontramos sumando el anterior 5, o sea multiplicamos en número del período por cinco.C(x) = 5 xb) Supongamos que ahora analizamos un cultivo debacterias, las que se reproducen cada 0,2 seg. (se dividen por la mitad). Completemos el cuadro de los primeros cinco períodos. 1er Período | 2do Período | 3er Período | 4to Período | 5to Período |
2 | 2.2 = 4 | 4 . 2 = 8 | 8 . 2 = 16 | 16 . 2 = 32 |
¿Qué se hace para calcular la cantidad de bacterias en cada período? Nuevamente utilizamos la cantidad de individuos del período anterior,sólo que esta vez lo multiplicamos por 2.Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de bacterias en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de estos microbios que habría en cualquier período. La diferencia con el anterior es que tenemos que tener en cuenta que partimos de un individuo (que alpartirse se convierte en dos). |
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En este caso la ecuación matemática a la que responde la división de las bacterias es diferente a la anterior de los conejos. Sigamos utilizando a la x para indicar el número del período.En el primer período tenemos 2, en el segundo 2 . 2 = 22 , en el tercero 2 . 2 . 2 = 23, si generalizamos tenemos que en el período "n" el número de bacterias es 2 n.Así que laecuación es: C(x) = 2xVolvamos al problema de los conejos.Si tenemos 125 crías ¿cuántos períodos han pasado? Utilizando la ecuación que encontramos: 5x = 125, despejemos, x = 125 / 5 = 25. Necesitamos 25 períodos.Si tenemos 512 bacterias ¿Cuántos períodos han pasado? Utilicemos la ecuación: 2x = 512Evidentemente el problema se complica un poco. Para encontrar la respuesta a esta cuestión debemoshallar el exponente al que está elevadoPrimero recordemos algo de primer año:Cuando en primer año viste potencia se dijo que : "la base (a) elevada al exponente (b) nos da como resultado igual que multiplicar "b" veces "a"ab = a1. a2. a3. a4 ... ab = Cej: 7 3 = 7.7.7 = 343Ahora estamos buscando el exponente al que está elevado, número que pusiste en la fórmula para hallar la cantidad de bacterias,para ello nos vemos obligados a buscar una operación matemática que no conocías, el logaritmo.Por definición :Log a C = b únicamente si a b = C(Se lee " logaritmo en base a de C ")De allí que para calcular el período en que tenemos 512 bacterias necesitamos conocer el exponente al que hemos elevado a "2".Entonces:Ya que trabajamos con potencias vamos a descubrir las cuatro propiedades quedeberemos aplicar de ahora en adelante en logaritmos.Resolvamos : 22.23.24 = 2 (2 + 3 + 4) = 2 9El "producto de potencias de igual base" es una propiedad que nos indica que podemos sumar las potencias cuando operamos con multiplicaciones de este tipo. Como trabajamos con potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al tema que estamos tratando. Si tenemos una multiplicación y aplicamos...