pandeo

PANDEO (Inestabilidad)
1.

Acerca del fenómeno

El pandeo es un fenómeno diferente a los otros estudiados en el curso. En todos las otras
situaciones estudiadas, aceptando que los materiales tienen un comportamiento lineal (tensión-deformación),
la estructura también presenta una relación lineal entre las cargas aplicadas y los desplazamientos,
deformaciones y tensiones producidas.
Eneste caso veremos (aceptando también la hipótesis de comportamiento lineal del material) que no
hay una relación lineal entre las cargas y los efectos que éstas producen (desplazamientos, deformaciones y
tensiones).
Si realizamos un ensayo sencillo (cualquiera puede hacerlo usando una regla flexible) en el que
sometemos una columna (regla en nuestro caso) a una carga de compresión P aplicada enel baricentro
de la sección y medimos el desplazamiento horizontal del punto medio de la columna, como se indica en la
figura 1, podremos ver que:
El punto medio de la columna no se desplaza horizontalmente cuando la carga P comienza a crecer.
Sin embargo, a partir de un cierto valor de ésta, comienza a tener un desplazamiento significativo.
Llegado a este punto si la carga es incrementada eldesplazamiento crece en forma importante.
Si se continua aumentando la carga, la columna termina rompiéndose. Pero si se retira la carga, la
columna vuelve a su posición inicial, es decir que en este caso todo el comportamiento del material es
elástico. Sin embargo la relación carga-desplazamiento no es lineal.
El pandeo es entonces un fenómeno no lineal y que se desata bruscamente. La columnapasa de no tener
desplazamiento lateral a, con un incremento relativamente pequeño de la fuerza, tener un desplazamiento
importante. De continuarse incrementando la fuerza, llegaremos al colapso sin grandes incrementos de la
carga de compresión aplicada.

Figura 1: Fenómeno de pandeo
Es claro que la columna puede deformarse para uno u otro lado pues el problema es simétrico. Dicho de
otramanera el problema no va a tener una solución única.

1

2.

Ecuaciones de una viga o pilar sometida a flexión y directa

Analizaremos el caso de una viga sometida a flexión (esto ya fue visto en el curso de Resistencia de
Materiales 1) pero ahora le incorporaremos una directa, que tomaremos de compresión. El caso de tracción
como se verá más adelante no presenta el fenómeno de pandeo.Para resolver el problema formularemos las ecuaciones de equilibrio:

Figura 2: Barra cargada axialmente
1. Equilibrio horizontal:
N (z) − N (z + dz) = 0
Resultando : N (z) = cte

(1)

2. Equilibrio vertical:
V (z) − qdz + V (z + dz) = 0
V (z + dz) − V (z) = −qdz
Dividiendo entre dz y pasando al limite obtenemos:

⇒

dV
= −q
dz

(2)

3. Equilibrio de momentos en B:
dz
− N (v(z+ dz − v(z))) = 0
2
M (z) − M (z + dz)
dz
v(z + dz) − v(z)
Dividiendo entre dz obtenemos: V (z) +
−q
−N
=0
dz
2
dz
dM
dv
Tomando l´ obtenemos: V (z) −
ım
−N
= 0 (3)
dz→0
dz
dz
dV
d2 M
d2 v
−
Derivando con respecto a z:
−N 2 =0
dz
dz 2
dz
2
2
d M
dV
d v
= −q ⇒
Sabemos de la ecuación 2 que:
+N 2 +q =0
dz
dz 2
dz
V (z)dz + M (z) − M (z + dz) − qdz

Y quesigue valiendo la expresión:

M = EI

d2 v
dz 2

Obtenemos en consecuencia la expresión general:
d2
dz 2

EI

d2 v
dz 2

+N

d2 v
+q =0
dz 2

(5)

Si sustituimos la expresión 4 en la ecuación 3 obtendremos:
V (z) =

d
dz

EI

2

d2 v
dz 2

+N

dv
dz

(6)

(4)

Estas dos expresiones son las ecuaciones que determinan el comportamiento de una viga (opilar)
sometida a carga distribuida q(z) y a directa de compresión N .
En el caso que la rigidez sea constante (EI = cte) las expresiones anteriores quedan:
EI

d4 v
d2 v
+N 2 +q =0
dz 4
dz

(7)

dv
d3 v
+N
3
dz
dz

(8)

V (z) = EI

3

3.

Solución de la ecuación homogénea

La ecuación 7 es una ecuación de cuarto orden, lineal con un término independiente q. Su solución...