Paper Series de Taylor

Series de Taylor
Jordy Cevallos, Christian Loza
Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
Sangolquí-Ecuador
jordicin2011@hotmail.com
christianloza_15@hotmail.com
Resumen—Este documento es una guía para introducirse al estudio de las series de Taylor y sus diferentes aplicaciones en la resolución de ejercicios matemáticos que requieran del mismo.
Abstract— Thisdocument is a guide for introduction to the study of Taylor series and its various applications in solving mathematical exercises that require it.
I. INTRODUCCIÓN
Las series de Taylor son aproximaciones de funciones mediante las series de potencias o suma de potencias enteras como, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para determinar un valor, cabe recalcar que no todaslas funciones pueden ser representadas en series de Taylor porque tienen alguna singularidad
II. Series de Taylor
A. Definición
La serie de Taylor de las funciones reales o complejas infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo “a”, definida en un intervalo (a-r, a+r); es la siguiente

Que puede representarse en forma de sumatoria:

Donde:
n! es el factorial de n
f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

(Como una especie de fórmula de Taylor llevada al límite) en la parte del dominio de f donde tal serie converja. Sin embargo, la situación real no es tan satisfactoria.

B. Ventajas
1. Tanto la derivación como la integración de estas series se puede realizar término a término, que resultanoperaciones triviales.
2. Se pueden utilizar para calcular valores aproximando de funciones requeridas.
3. Es posible calcular la optimizad de la aproximación

C. Alcances
1. Permite convertir cualquier funciona un polinomio para un manejo más fácil de estas
2. Permite que la función pueda ser utilizada en las diferentes aplicaciones de la ingeniería de manera más fácil.
D. Limitaciones
1. Al ser unaserie infinita nunca se lograra un resultado con el 100% de exactitud
2. Mientras más complicada sea la función mayor grado de error tendrá debido a dicha dificultad. [1]
E. Caso de una variable
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Másformalmente, si es un entero y una funcin que es derivable n veces en el intervalo cerrado (a, x) y n+1 veces en el intervalo abierto(a, x), entonces se cumple que:
Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a denotado por Pn, a, el polinomio

O en forma compacta

Donde k denota el factorial de k y es el resto, término que depende de x y es pequeño si x estapróximo al punto a. Existen dos expresiones para R que se mencionan a continuación:

Donde a y x pertenecen a los números reales, n a los enteros y es un número real entre a y :


Si es expresado en la primera forma se lo denomina “Termino complementario de Lagrange”, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema de valor medio o Teorema de Lagrange, mientras quela segunda expresión muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integra.
Para algunas funciones se puede probar que el resto se aproxima a cero cuando n se acerca al: dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido de un punto y son denominadas funciones analíticas.
El teorema con R expresado en la segunda forma se validó sila función f tiene números complejos o valores vectoriales.
F. Caso de varias variables
El teorema de Taylor puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura de B cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor se...