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EI coste de produccion 251

Capitulo 7

APENDICE Al CAPiTULO
La teoria de la producci6n y los costes:
anal isis matematico
En este apendice presentamos un analisis matematico de los elementos basicos de
la teona de la produccion y de los costes. Al igual que en el apendice del Capitu­
lo 4, utilizamos el metodo de los multiplicadores de Lagrange para resolver el pro­
blema deminimizacion de los costes de la empresa.

La minimizaci6n de los costes
La teoria de la empresa se basa en el supuesto de que las empresas eligen los facto­
res del proceso de produccion que minimizan el coste de produccion. Si hay dos
factores, capital K y trabajo L, la funcion de produccion F(K, L) describe el nivel
maximo de produccion que puede obtenerse con cada combinacion posible de fac­tores. Suponemos que cada uno de los factores del proceso de produccion tiene
productos marginales positivos pero decrecientes. Expresando el producto mar­
ginal del capital de la manera siguiente: PMK(K, L)
8F(K, L)/8K, suponemos
que PMK(K, L) > 0 y 8PMK(K, L)/8K < O. Asimismo, si el producto marginal del
trabajo viene dado por PML(K, L)
8F(K, L)/8L, suponemos que PML(K, L) > 0 y
8PML(K,L)/8L < O.
Una empresa competitiva considera dados los precios tanto del trabajo w como
del capital r. En ese caso, el problema de minimizacion de los costes puede expre­
sarse de la manera siguiente:
=

=

Minimizar C

=

wL + rK

(A7.1)

sujeto a la restriccion de que debe producirse una cantidad fija Qo:
F(K, L)

=

Qo

(A7.2)

C representa el coste de producir unacantidad fija Qo'
Para hallar la demanda de los factores capital y trabajo de la empresa, elegimos
los valores de K y L que rninimizan la expresion (A7.1) sujeta a la condicion (A7.2).
Resolvemos este problema de optimizacion restringida utilizando el metodo ana li­
zado en el Apendice 4:
• Primer paso. Formulamos el lagrangiano, que es la suma de dos componentes:

el coste de produccion (quese quiere minimizar) y el multiplicador de Lagran­
ge ,l multiplicado por la restricci6n de la produccion a la que esta sujeta la empresa:
Qol
(A7.3)

wL + rK - A[F(k, L)
=

-

• Segundo paso. Diferenciamos el lagrangiano con respecto a K, L Y ,l e iguala­

mos ias derivadas a cero para obtener las condiciones necesarias para alcanzar
un minimol:
r - ,lPMK(K, L)
0
8/8K
=

=8/8L
8/8A
1

=

=

w

-

,lPML(K, L)

F(K, L)

-

Qo

=

=

0

(A7.4)

0

Estas condiciones son necesarias para llegar a una soluci6n en la que las cantidades de ambos

factores sean positivas.

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Microeconomia
• Tercer paso. En general, estas ecuaciones pueden resolverse para obtener los

valores optimizadores de L, K Y 2. Resulta especialmenteinstructivo combinar
las dos primeras condiciones de (A7.4) para obtener

(A7.5)
La Ecuaci6n (A7.5) nos dice que si la empresa esta minimizando los costes, ele­
gira las cantidades de factores que igualen el cociente entre el producto margi­
nal de cada uno y su precio. Para ver que esto !iene sentido, supongamos que
PMK/r fuera mayor que PML/w. En ese caso, la empresa podrfa reducir su costey obtener, aun aSl, el mismo nivel de producci6n utilizando mas capital y me­
nos trabajo.
Por ultimo, podemos combinar las dos primeras condiciones de (A7.4) de
una forma distinta para evaluar el multiplicador de Lagrange:

(A7.6)
Supongamos que la producci6n aumenta en una unidad. Como el producto
marginal del capital mide la produccion adicional correspondiente a una can­
tidadadicional de capital, l/PMK(K, L) mide el capital adicional necesario pa­
ra obtener una unidad adicional de producci6n. Por 10 tanto, r/PMK(K, L) mi­
de el coste adicional de obtener una unidad adicional de producci6n elevando
el capital. Asimismo, w/PML(K, L) mide el coste adicional de obtener una uni­
dad adicional de producci6n utilizando trabajo adicional como factor. En am­
bos casos, el...