PAR BOLAEje Focal

La Circunferencia
La circunferencia es el conjunto de puntos que equidista de un punto llamado seno.


centro de la circunferencia






Análisis de la circunferencia










D E F
F=

R=
R=
R=
R=





Ejercicios
1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio2.





2.- Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0, hallar el centro y el radio.


3- Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:
 


4.- Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, −3) y es tangente al eje de abscisas.
 


5.- Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (−1, 4) yes tangente al eje de ordenadas.
 



6.- Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.  





7.- Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación, y que pasa por el punto (−3, 4).
 
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.








8.- Hallar la ecuación de lacircunferencia que tiene el centro en el punto C(3, 1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0.
 





9.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 0), B(2, 3), C(1, 3).



10.-Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices:A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).
 




PRACTICA CALIFICADA
1) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por lospuntos A (2, 1) y B (−2, 3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
 




2) Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0, −3), cuyo radio es  y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
 










3)
Determine el valor de k de modo que la recta 2x+3y +k = 0 sea tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 4y = 0.
Solución.
(1o forma) Tal comoen el ejercicio anterior imponiendo 4 = 0 resulta k = −1 o k = 25.
(2o forma) La tangente a la circunferencia (x + 3)2 + (y + 2)2 = 13 en un punto (x0,y0) debe ser
(x0 + 3)(x + 3) + (y0 + 2)(y + 2) = 13
⇐⇒ (x0 + 3)x + (y0 + 2)y + 3x0 + 2y0 = 0
Esta ecuación debe ser la misma que 2x+3y +k = 0 luego se debe cumplir que
(∗)
De aquí+ 5), como P0(x0,y0) pertenece a la circunferencia, entoncesFinalmente en (*)= 25 o bien 1=
Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triangulo cuyos vértices son
Solución.
El centro O(x, y) de la circunferencia inscrita al triangulo se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices
bB : x = 2 bC : d1 = d2, d1 > 0 y d2 < 0

15y = −18 − 12y + 45 =⇒ y = 1 =⇒ 0(2,1)
Notemos que r = d1 = 1; así la ecuación de la circunferencia es (x − 2)2 + (y− 1)2 = 1.
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los puntos A (1,3) y B (4,6).
Solución.
Ecuación de la cuerda AB es y − 3 = x − 1
M punto medio de así la ecuación de OM es

Coordenadas del centro O, y = 0 =⇒ x = 7 =⇒ O (7,0) así: (x−7)2 +y2 = (6)2 + (−3)2 = 45
Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo centro está sobre la recta l1: 6x+7y−16 = 0y es tangente a cada una de las rectas l2: 8x+15y+7 = 0 y l3: 3x − 4y − 18 = 0.
Solución.
Determinamos los centros Oy O0 de las circunferencias que cumplen las condiciones pedidas. b1 y b2 bisectrices O intersección de l1 y b1
d1 > 0 y d2 < 0, d1 = −d2

11x − 143y − 341 = 0
Resolviendo el sistema

Así: (x − 5)2 + (y + 2)2 = 1 es una de las circunferencias, análogamente


Determine la ecuación dela circunferencia que pasa por la intersección de las circunferencias C1: x2+y2−4x+2y−8 = 0 y C2 : x2+y2−2x+2y−7 = 0 y que tiene su centro en la recta 2x + y = 5.
Solución.
La ecuación de la circunferencia pedida pertenece a la familia x2 + y2− 4x + 2y − 8 + λ(x2 + y2− 2x + 2y − 7) = 0
(1 + λ)x2 + (1 + λ)y2− (4 + 2λ)x + (2 + 2λ)y − 7λ − 8 = 0
Su centro está dado por

El cual debe satisfacer a...