Para Liz

1.- Números complejos
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardano, en tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cubicas y cuarticas titulado Ars Magna. Para apreciar la dimensión de esta propuesta debe tenerse en cuenta que el concepto de números negativos apenashabía tenido aceptación, y que aún había controversia en relación con sus propiedades. Las cantidades “ficticias” de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las utilizo para demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, el cual establece que todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero.
Unnumérico complejo es una pareja ordenada de números reales (a, b), sujeto a diversas reglas y leyes operacionales.
Un número complejo se representa como:
   i
Donde:
 Variable compleja
 Parte real
 Parte imaginaria
i Unidad imaginaria
Si x= 0 tenemos que yi es un numero imaginario puro.
Si y= 0 tenemos que x es un número real.
Un número complejo podemos expresarlo de dos maneras:
FormaBinómica:  5 + 3i
Forma rectangular: 5, 3






Unidad imaginaria:
i√-1
i²= √-1²= -1
i³= i*i²= -i= -√-1
i^4= i²*i²= (-1)(-1)= 1
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS:
Al efectuar operaciones con números complejos, podemos proceder como en el álgebra de números reales, remplazando i²= -1.
SUMA:
Para cada par de números complejos 1 y 2 existe un 3 llamado la adicion de 1 y2, denotado por:
Sí
1= a + b i
2= c + d i
Entonces:
3=(a+b i) + (c + d i)
3= a+b i +c+d i
3= (a+c) + (b+d) i
Ejemplo:
Sí:
1= 2+3
2= -5+4

Entonces:
3= (2+3 i) + (-5+4 i)
3= 2+3 i -5+4 i
3= (2-5) + (3+4) i
3= -3 + 7 i
Resta:
Para cada par de números complejos 1 y 2 existe un número complejo único 3 llamado la sustracción de 1 y 2, denotado por:
Si:
1= a + b i
2=c + d iEntonces:
3=(a+b i) - (c+d i)
3= a+b i – c - d i
3= (a-c) + (b-d) i
Ejemplo:
Sí:
1= ‑4 + 2 i
2= 3 – 6 i
Entonces:
3= (-4+2 i) – (3-6 i)
3= -4 + 2 i -3 + 6 i
3= (-4 -3) + (2+6) i
3= -7 + 8 i
Multiplicación:
Por cada par de números complejos 1 y 2 existe un número complejo único llamado 3 el producto de 1 y 2, denotado por:
Sí:
1= a + b i
2=c + d i
Entonces:
3=(a+b i)(c + d i)
Aplicandola ley distributiva:
3= ac + ad i + bc i + bd i²
3= (ac – bd) + (ad + bd) i
Ejemplo:
Sí
1= 1 -4 i
2= 3 -2 i
Entonces:
3= (1 -4 i)(3 -2 i)
3= 3 -2 i – 12 i + 8 i²
3= (3 -8) + (-2 -12) i
3= -5 -14 i


División:
Para cada par de números complejos existe un número complejo único llamado 3 el cociente de 1 y 2, denotado por:
Sí
1= a + b i
2=c + d i
Entonces:

Multiplicandoalgebraicamente por 1 (cociente del conjugado del denominador) tenemos que:

Aplicando la ley distributiva:



Ejemplo:
Si


Entonces:






1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo
Bajo estas condiciones el número complejo  podemos escribirlo:
   i
 =
 = forma polar
Exponencial:
A la expresión = se le conoce como fórmula de Euler.
Asi:
 =
 =
1.5 Teorema de DeMoivre, potencias yextracción de raíces de un numero complejo
Una generalización de la siguiente expresión:
1 2 =
Seria

1 2…. = …Rn
Y si igualamos, r y θ, tenemos:

Esta fórmula se conoce como fórmula de D´Moivre


RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO:
Partiendo de la fórmula de D´Moivre es posible representar todas las raíces de la ecuación binomica:

Donde:
= Es un numero complejo para
A= Es un numero complejo para AEscribiendo a y A en forma polar obtenemos:
=
A=
Igualando:
=
Por lo tanto:


El argumento de un número complejo en el intervalo se le conoce como valor principal.
El argumento esta definido para y tienen valores infinitosque difieren entre si en múltiplos enteros de 2, asi la manera correcta de presentar un argumento es por ejemplo:

Donde:
K=0,1,2,…
Sabiendo esto tenemos que el...