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Catástrofe malthusiana[editar · editar código]
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que elcrecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. Lagran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.

Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:

(2a, 2b)

\frac{dP(t)}{dt} = rP(t), \qquad \qquad \frac{dA(t)}{dt} = k A_0

La solución de las dos ecuaciones anteriores lleva a que la cantidad de alimento por persona viene dada por:


a(t) = \frac{A(t)}{P(t)} = \frac{A_0(1+k t)}{P_0 e^{r t}} =a_0(1+k t)e^{-rt}

Donde P0 es la población inicial y A0 es la cantidad inicial de alimentos. Supongamos ahora que la cantidad mínima de alimentos o ingesta mínima por persona esamin, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana tCM:

(*)

a(t_{CM}) = a_{min} \Rightarrow \frac{1+k t_{CM}}{e^{r t_{CM}}} \le \frac{a_{min}}{a_0}

Puede verse que paracualesquiera valores positivos de r, k, A0, P0 y amin existe un instante del tiempo dado por tCM en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (2a, 2b) no cambian en todo el proceso. La solución de (*) viene dada mediante la función W de Lambert:


t_{CM} = -\frac{1}{r} -\frac{1}{k}W\left(-r\frac{a_{min}}{a_0}e^{-r/k}\right)

Curva logística[editar· editar código]
Artículo principal: Curva logística
La curva logística es un refinamiento del crecimiento exponencial. Cuando una magnitud crece en un sistema finito, a partir de cierto punto el tamaño finito del sistema limita el crecimiento de la magnitud al no existir recursos abundantes suficientes para seguir permitiendo el crecimiento exponencial. Un caso típico son los ecosistemasbiológicos donde ciertas especies basan su supervivencia en altas tasas de reproducción o natalidad(estrategia r). Inicialmente cuando existe un pequeño número de individuos el crecimiento es exponencial, pero a partir de cierto momento el hecho de que los recursos alimentarios del territorio no sean infinitos "satura" el crecimiento. En esos casos el crecimiento de la población P con el tiempo (t)responde a la siguiente ecuación diferencial:

(3)

\frac{dP}{dt}=rP\left(1 - \frac{P}{K}\right)

Donde la constante r define la tasa de crecimiento y K es la capacidad, que está asociada a la saturación del sistema. Cuando P es pequeña esta ecuación se parece a la ecuación (1) del crecimiento exponencial, pero para valores no despreciables frente al valor de K el comportamietno cambia. Lasolución general a la ecuación (3) es la función logística, usualmente llamada curva logística. La solución general de la ecuación, siendo P_0 la población inicial, viene dada por:


P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} - 1\right)}

Donde: \lim_{t\to\infty} P(t) = K.\,



Estrategias K y r[editar · editar código]
La teoría de selección r/K hipotetiza que las fuerzas evolutivas...