Para Resolver Un Problema De Optimizaci N Con Restricciones De Igualdad Se Utiliza El M Todo Del Multiplicador Lagrangiano Junto Con Las Condiciones De Primer Y Segundo Orden Para Maximizar

Para resolver un problema de optimización con restricciones de igualdad se utiliza el método del multiplicador lagrangiano junto con las condiciones de primer ysegundo orden para maximizar. Este método consiste en añadir, a la función que se busca optimizar, una ecuación adicional (la restricción) y una variable adicional (elmultiplicador lagrangiano) con lo que la función se queda con n+1 ecuaciones para n+1 incógnitas.
Siguiendo un algoritmo llegamos a la solución. En este método se partede la formulación de la expresión L = f (x1, x2, . . . , xn) + kg(x1, x2, . . . , xn) donde f es la función que se busca optimizar, g la restricción y k la variableadicional llamada multiplicador lagrangiano.
Se deriva L respecto de las n+1 variables x1,x2... xn y k y cada derivada se iguala a cero como así lo indica la condiciónde primer orden, ya que para que la función de una variable alcance su valor máximo en un punto, la derivada en ese punto (si existe) debe ser cero, como condiciónnecesaria. De esta manera se consiguen n+1 ecuaciones que son las condiciones para obtener un posible máximo de la función L, con las restricciones de igualdad. Seresuelven las ecuaciones para x1,x2... xn y para k cuya solución cumple que todas las x obedecen la restricción impuesta por la última ecuación y si cumplen la condiciónde segundo orden, la cual dice que para ser un máximo la derivada segunda de la función en ese punto debe ser menor que cero, harán que L y por lo tanto f’ sea unmáximo. Además se puede despejar el multiplicador lagrangiano e interpretar como la proporción común de costos a beneficios de todas las x, que es el costo marginal de xi.