Para una distribución de probabilidad binomial

Para una distribución de probabilidad binomial, deben darse las siguientes condiciones
En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso "éxito" y su contrario el suceso "fracaso".

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente, esto es que el valor de la probabilidad de cada prueba no se afecta por pruebas anteriores,ni afecta pruebas futuras.

La probabilidad del suceso "éxito" es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de el suceso "fracaso" es 1- p y la representamos por q .

El experimento consta de un número n de pruebas.
De las "n" pruebas, calculamos la probabilidad de "k" éxitos
 

Parámetros de la distribución binomial, la media y la desviación estándar.Ejemplos.
Consideremos el siguiente juego, la apuesta a un número al arrojar un dado. Consideraremos un "éxito" si sale el número que eligimos, y un "fracaso" si sale otro número.
Tenemos que:
p = 1/6
q = 1-p = 5/6
Si hacemos una sola prueba donde P(k) es la probabilidad de k exitos.
tenemos que:
n = 1
P(0) = q = 5/6
P(1) = p = 1/6
Si hacemos dos pruebas, encontraremos lo siguiente: n = 2Primera prueba
Segunda prueba
Descripción
Número de éxitos
Probabilidad primera prueba
Probabilidad segunda prueba
Probabilidad de las dos pruebas
q
q
Pierde las dos pruebas
0
 
5/6
 
5/6
 
25/36
p
q
Gana la primera y pierde la segunda
1
 
1/6
 
5/6
 
5/36
q
p
Pierde la primera y gana la segunda
1
 
5/6
 
1/6
 
5/36
p
p
Gana las dos pruebas
2
 
1/6
 
1/6
 
1/36

Tendremos cuatrodiferentes formas de obtener resultados, estas cuatro formas las vemos en la columna "descripción" de la tabla anterior.
La probabilidad para cada resultado, se calcula multiplicando las probabilidades del resultado de cada prueba, dado que estas son independientes.
El número de "éxitos" lo hacemos contando las "p" de cada línea.
Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.
Observa quepara la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran en los renglones verdes de la tabla anterior.
Los resultados en la siguiente tabla.
 
P(0)=
25/36
P(1)=
2(5/36)=10/36=5/18
P(2)=
1/36
Podemos poner la probabilidad en decimales.
P(0)=
25/36 = 0.694444444
P(1)=
5/18 = 0.277777777
P(2)=
1/36 = 0.02777777
Y hacemos su gráfica:

Ahora calcularemos lo mismo con la fórmula de distribuciónbinomial.

Sustituimos con n = 2 y k = 0:

2! entre 2! es igual a uno.

Por definición 0! es igual a uno

1/6 elevado a la cero es uno.

Sustituimos con n = 2 y k = 1:

Sustituimos con n = 2 y k = 2:

Que son los mismos valores que obtuvimos de las tablas.


Ahora veamos que pasa si hacemos tres pruebas con el mismo ejemplo de apostar a un número de un dado.
Primera prueba
Segunda pruebaTercera prueba
Pruebas ganadas
Probabilidad primera prueba
Probabilidad segunda prueba
Probabilidad tercera prueba
Probabilidad de las tres pruebas
q
q
q
0
 
5/6
 
5/6
 
5/6
 
125/216
q
q
p
1
 
5/6
 
5/6
 
1/6
 
25/216
q
p
q
1
 
5/6
 
1/6
 
5/6
 
25/216
q
p
p
2
 
5/6
 
1/6
 
1/6
 
5/216
p
q
q
1
 
1/6
 
5/6
 
5/6
 
25/216
p
q
p
2
 
1/6
 
5/6
 
1/6
 
5/216
p
p
q
2
 
1/6
 
1/6
 5/6
 
5/216
p
p
p
3
 
1/6
 
1/6
 
1/6
 
1/216
Calculamos los valores de las probabilidades desde cero hasta tres éxitos
P(0)=
125/216
P(1)=
3(25/216)=75/216=25/72
P(2)=
3(5/216)=15/216 = 5/72
P(3)=
1/216
Ponemos la probabilidad en decimales.
P(0)=
125/216 = 0.578703703
P(1)=
25/72 = 0.34722222222
P(2)=
15/216 = 0.0694444444
P(3)=
1/216 = 0.00046296296
 


Y hacemos su gráfica.Calcularemos ahora las probabilidades de k éxitos para n = 3 con la fórmula binomial.
 
Para k = 0

Para k = 1

 
Para k = 2



Para k = 3

Que son los mismos resultados de las tablas.



Hacemos el ejercicio para cuatro pruebas con el mismo ejemplo de apostar a un número al lanzar un dado, observa los colores en la siguiente tabla.
Primera prueba
Segunda prueba
Tercera prueba
Cuarta prueba
Pruebas...