para

Sea I ⊂ R3 una curva y sean γ : I = [ a, b] → R3, γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) una
parametrización regular y α : I′ = [ a′,b] → R3 su parametrización respecto el
parámetro arco.

En el desarrollode la teoría local de curvas regulares, tanto de aquéllas cuya traza es un
subconjunto de IR3 como aquéllas cuya traza es un subconjunto de IR2, ha quedado claro que
los elementos fundamentales parael estudio de la curva son sus funciones curvatura y torsión.
Sin embargo, estas funciones tienen el inconveniente de haber sido introducidas a partir de la
consideración del parámetro arco de lacurva, y dado que la determinación explícita de esta
magnitud es en general imposible, pues está dada a través del cálculo de una integral compleja
y además tenemos que hallar la funcón inversa de lasolución de la integral, resulta que en
la práctica los desarrollos anteriores parecen tener una utilidad limitada. Este inconveniente
quedará solventado si la curvatura y la torsión de una curvapueden expresarse en términos de
la parametrización actual de la misma, sin necesidad de recurrir al cálculo previo del parámetro
longitud de arco.
El objetivo de esta sección es precisamente laobtención de las expresiones de la curvatura y
de la torsión de una curva regular, e incluso del Triedro de Frenet, en cualquier parametrización.
A partir de la primera y segunda derivada de laparametrización de la curva
se construye el triedro de Frenet. En cada punto regular de la curva γ(t), son
tres vectores unitarios y ortonormales, T(t), B(t) y N(t). Es decir, el triedro de
Frenet es unsistema de referencia ortonormal que nos proporcionan importante
información sobre la curva. Decimos que es un sistema de referencia móvil,
porque se desplaza por la curva según la recorremos.A partir de los vectores del triedro de Frenet construiremos planos (el osculador,
el normal y el rectificante). También introduciremos los conceptos de curvatura
y torsión, que nos...