Parabola

Parábola

Se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

Componentes de la parábola

* Foco
Es el punto fijo F.
* Directriz
Es la recta fija d.
* Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
* Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por elfoco.
* Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
* Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuación reducida de la parábola

Consideramos la parábola cuyo vértice esta en el origen y cuyo eje coincide con el eje X, entonces el foco esta sobre el eje X
F ( a , 0 )

La Directriz es una recta vertical D deecuación x = - a.

Dado el punto: P ( x, y ) de la parábola, distinta lo mismo del foco que de la Directriz, y mediante la fórmula de distancia entre dos puntos se tiene que:
PF=PD

PD = (x--a)2+(y-y)2
PD=(x+a)2
y
FP = (x-a )2+( y - 0 )2
FP = (x-a )2+y 2

Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
(x+a)2=(x-a )2+y 2

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado ydesarrollando, se tiene:
(x+a)2=(x-a )2+y 2
x2+2ax+22=x2-2ax+22+y 2
x2+2ax+22-x2+2ax-22=y 2

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:
y 2=4ax

La cual, es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.

Despejando y de la ecuaci6n, tenemos:

y=±2ax

Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, a y x deben ser del mismo signo. Segúnesto, podemos considerar dos casos: p > 0 y p < 0.

Si a > 0, deben excluirse todos los valores negativos de x y todo el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y. Como x puede tomar todos los valores reales, el lugar geométrico es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X. Se dice que la parábola se abre hacia laderecha.

Análogamente, si a < 0, todos los valores positivos de x deben excluirse en la ecuación y todo el lugar geométrico aparece a la izquierda del eje Y. En este caso, se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el vértice de la parábola esta en el origen y su eje coincide con el eje Y, se demuestra, análogamente, que la ecuación de la parábola es:
x 2=4ay

En donde el focoes el punto:
F ( 0 , a )

Puede demostrarse fácilmente que, si p > 0, la parábola se abre hacia arriba; y, si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

La ecuación de la directriz es:
y=-a

Ecuaciones de la parábola cuyo vértice no coincide con el origen

Frecuentemente necesitamos obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice no esta en el origen y cuyo eje sea paralelo, y nonecesariamente coincidente, a uno de los ejes coordenados.

Consideremos la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen O’ coincida con el vértice (h, k) se sigue, que la ecuaci6n de la parábola con referencia a los nuevos ejes X’ y Y’ esta dada por
y' 2=4ax'

En donde 1as coordenadas del focoreferido a los nuevos ejes es:
F ( a , 0 )

A partir de la ecunci6n de la parábola referida a los ejes originales X y Y
x=x'+h y=y'+k
De donde
x'=x-h y'=y-k

Si sustituimos estos valores de x' y y' en la ecuación y' 2=4ax' obtenemos:
(y-k)2=4a(x-h)

La cual, es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) ycuyo eje es paralelo al eje Y tiene por ecuación:
(x-h)2=4a(y-k)

En donde P es la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma
y-k2=4ax-h

Si a > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si a < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

Si el vértice es el punto (h, k) y...