parabola

Ecuaciones de la parábola


Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.


Prueba geométrica de la relación y=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de lasformas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde elparámetro aespecifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, laparábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relacióngeométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola comosección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QVperpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la seccióncircular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
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Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA sonsemejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de  es una constante pues no depende de la posición de V,por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².


Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuaciónde una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

agrupando los términos y...