parabola

Página 90

LA PARÁBOLA

5

LA
PARÁBOLA

5.1 DEFINICIONES
La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada directriz , y a un punto fijo, llamado foco , son iguales entre sí.
Hay cuatro posibilidades de obtener una parábola:

1) para la parte positiva:

a) que abra
sobre el
eje X:
2) para la parte negativa:

Parábola
3) parala parte positiva:
b) que abra
sobre el
eje Y:

4) para la parte negativa:

4

Lugar Geométrico significa “la figura que se forma”, o sea, la gráfica que se forma con los puntos que se definen al
hablar del lugar Geométrico.

Página 91

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

Cualquiera que sea su posición, la distancia d1 de cualquier punto de la parábola a la recta
llamada directrizes igual a la distancia d 2 de ese mismo punto de la parábola al punto llamado foco. En la figura 5.1, d1 = d 2
Las partes principales de una parábola, mostradas en la figura 5.2, son las siguientes:
Eje focal: Es la recta que divide a la parábola simétricamente y que pasa por el foco. Ver
figura 5.2.
Vértice: Es el punto donde se intersecan
la parábola con el eje focal.
Distancia focal: Esla distancia que existe
del foco al vértice y se le asigna la letra p,
la cual aparecerá en la ecuación particular
de la parábola. Sin embargo, de acuerdo
con la definición de la parábola, la distancia
p del foco al vértice es igual a la distancia
del vértice a la directriz por estar en la misma línea recta perpendicular a dicha directriz.

d2
foco
d1

directriz
figura 5.1

Lascoordenadas del vértice, igual que en
la circunferencia, se designan con las letras h y k.
Lado recto: Es la cuerda perpendicular al
eje focal y que pasa por el foco. Su longitud
es una de las características importantes de
la parábola y es igual a 4p. Ver figura 5.2.
En todas las cónicas que tienen por lo menos un término al cuadrado, un primer paso,
como ya se dijo, en el procedimiento paratransformar su ecuación de la forma general
a la forma particular consiste en dividir toda
la ecuación general entre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a todas
las variables "al cuadrado".

foco

lado recto

p

vértice

p
directriz
eje focal
figura 5.2

En el caso de la parábola, su ecuación en
forma general es
Ax2 + Dx + Ey + F = 0

(a)

Página 92

o bienLA PARÁBOLA

By2 + Dx + Ey + F = 0

(b)

ya que, como se mencionó en las páginas 17,18 y 19 al hablar del análisis de la ecuación general, para que sea parábola se requiere que exista un solo término al cuadrado; además, la
parábola abre hacia la variable que carece de cuadrado, por lo que la ecuación (a) abre hacia
el eje Y y la ecuación (b) abre hacia el eje X.
Si se les aplica elprimer paso general, la ecuación (a) queda dividida entre A:

A 2 D
E
F
x +
x+
y+
=0
A
A
A
A
que simplificada resulta

x2 +

Al final de cuentas, los coeficientes

D
E
F
x+
y+
=0
A
A
A
D
E
F
;
y
son números también, por lo que,
A
A
A

para simplificar la escritura, se renombran de la siguiente manera:

D
se renombra como D ;
A
E
se renombra como E ;
A
Fse renombra como F ;
A
por lo que esa ecuación suele escribirse en forma abreviada como
x2 + Dx + Ey + F = 0
mientras que la ecuación (b) , al quedar dividida entre B y aplicando las mismas consideraciones que a la ecuación (a), puede reducirse y escribirse como:
y2 + Dx + Ey + F = 0
Por estas razones, se acostumbran escribir de la siguiente manera:

Página 93

INSTITUTO VALLADOLIDPREPARATORIA

La ecuación general de la parábola es
x2 + Dx + Ey + F = 0

si abre hacia el eje Y.

y2 + Dx + Ey + F = 0

si abre hacia el eje X.

o bien

Las características principales de la parábola son:
1)
2)
3)
4)
5)

coordenadas del vértice V;
coordenadas del foco;
la distancia focal p;
dirección en que abre la parábola;
longitud del lado recto.

La ecuación en forma...