Parabola

PARÁBOLA
UNIDAD IX
IX.1 DEFINICIÓN DE PARÁBOLA
La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo en el plano
llamado foco y de una recta también fija en el plano llamada directriz. El punto medio entre el foco y la
directriz se llama vértice. La distancia del vértice al foco o de del vértice a la directriz se le denota mediante
la letra p . Lasiguiente figura muestra a una parábola que es paralela al eje x y que se abre a la derecha:
d2
Foco
Directriz
x=-p
y
x
P(x,y)
V
d1
(p,0)
La distancia que existe de cualquier punto P(x, y) que pertenezca a la parábola al foco es:
2 2
d1 = (x - p) + ( y - 0)
Por su parte, la distancia que existe de cualquier punto P(x, y) que pertenezca a la parábola a la
directriz es:
d2 = x + pAhora, por definición: d1 = d2
sustituyendo queda:
(x - p)2 + (y - 0)2 = x + p
ahora, elevando al cuadrado se tiene:
( )2 2 ( )2 x - p + y = x + p
Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Parábola Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2
desarrollando:
x2 - 2xp + p2 + y2 = x2 + 2xp + p2
eliminando términos queda:
- 2xp + y2 = 2xp
o bien:
y2 = 2xp + 2xp
que es igual a:
y2 = 4 pxecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la parábola con vértice en el origen.
A la recta que pasa por el vértice y el foco se le conoce como eje de la parábola (EP).
Cabe señalar que en una parábola la excentricidad siempre es uno porque la distancia que hay del
vértice al foco es igual a la que hay del vértice a la directriz.
Similarmente, si el eje de la parábola también esel eje x , pero se abre para la izquierda entonces el
foco se ubica en F (0,- p) y la directriz tiene ecuación x = p , gráficamente esto es:
d2
Foco
Directriz
x=p
y
x
P(x,y)
V
d1
(-p,0)
Haciendo un análisis similar al anterior se obtiene que su ecuación canónica es:
y 2 = -4 px
Se conoce como lado recto (LR) de cualquier parábola a la longitud de una recta perpendicular al EP y
quepasa por su foco y que incluye a la parábola en ambos extremos.
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3
Lado recto
F
Sustituyendo p en la ecuación se tiene: y 2 = 4 p(p)= 4 p2 ⇒ y = ± 4 p2 = ±2 p , por lo tanto
cada ordenada tiene un longitud de 2p , eso significa que el lado recto se calcula como:
LR = 4 p
Por otra parte, si eleje de la parábola es el eje y , se tienen dos casos:
Si se abre hacia arriba se tiene que el foco se ubica en F (0, p) y su directriz es: y = - p , tal y como se
muestra en la figura:
d2
Foco
Directriz
y=-p
y
x
P(x,y)
V
(0,p) d1
Su ecuación ordinaria es:
x2 = 4 py
Si se abre hacia abajo con foco en F (0,- p) y directriz en y = p , se tiene:
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4
d2
Foco
Directriz
y=p
y
x
P(x,y)
V
d1
(0,-p)
Su ecuación ordinaria es:
x2 = -4 py
Ejemplos.
Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de las siguientes parábolas:
1) y 8x 2 =
Solución.
2
4
8
4 p = 8 ⇒ p = = . EP: eje x . Signo (+), por lo que se abre hacia la derecha.
Elfoco se ubica en F (2,0). La ecuación de la directriz es: x = -2 . El lado recto es: LR = 4(2) = 8 u.
2) y 12x 2 = -
Solución.
3
4
12
4 12 = - = - ⇒ = - p p . EP: eje x . Signo (-), por lo que se abre hacia la izquierda. El foco se
ubica en F (- 3,0). La ecuación de la directriz es: x = 3 . El lado recto es: LR = 4(-3) = 12 u.
3) x 16y 2 =
Solución.
4
4
16
4 p = 16 ⇒ p = = . EP: eje y. Signo (+), por lo que se abre hacia arriba. El foco se ubica en
F (0,4). La ecuación de la directriz es: y = -4 . El lado recto es: LR = 4(4) = 16 u.
4) x2 = -7 y
Solución.
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5
4
7
4 p = -7 ⇒ p = - . EP: eje y . Signo (-), por lo que se abre hacia abajo. El foco se ubica en



 -...