parabola

INTRODUCCION


La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver quese trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo,que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

Se llama vértice de laparábola al punto donde ésta corta a su eje.
Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.








Ecuación de la parábola:
Si tomamos una ecuación estándar de una parábola de (de la forma x2 = 4py) y sustituimos x con x-h y con y –k, entonces
X2 =4py se convierte en (x-h)2 = 4p (y –k)Función cuadrática
Las funciones cuya ecuación es 
y = ax2 + bx + c 
con a, b y c números y a distinto de 0 
(el valor de b y c si puede ser 0)
se llaman cuadráticas y se representan mediante parábolas con su eje paralelo al eje Y. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
C es el término independienteORIENTACIÓN O CONCAVIDAD
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2).
Estas parábolas son más o menosabiertas según cual sea el valor de a:

·
Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5



Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3



Además cuanto mayor sea |a|, menos abierta es
la parábola. 

El eje de simetría de la parábola es la recta
vertical que divide a ésta endos partes iguales.
VÉRTICE:
El vértice de la parábola es el punto de corte de dicho eje con la parábola y tiene de coordenadas 


El punto de corte con el eje de ordenadas será el (0, c), mientras que los puntos de corte con el eje de abscisas tendrán por abscisas las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 y por ordenada 0.
Observar que laparábola siempre cortará al eje de ordenadas, pero al eje de abscisas puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
INTERCEPTO:
a)-.Intersección con el eje Y: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa (eje x) x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje Y tendrá de coordenadas (0,y).
b)-.Intersección con el eje X: Como todos los puntos del eje X tienen laordenada (eje y) y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.
Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:
A-.Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales sean X1 y X2 y estas sean distintas y la parábola cortará al eje X en dos puntos.
B-.Si D = 0, la ecuación tiene una...