parabola

Parábola que pasa por tres puntos

Tal como vimos, la expresión de una función cuadrática requiere de tres parámetros, que obtenemos a partir de los coeficientes, las coordenadas del vérticey/o las raíces reales, si es que existen.
Obtengamos ahora la expresión de una función cuadrática conociendo tres puntos cualesquiera que pertenecen a su gráfico.
Ejemplo: Halla la expresiónpolinómica de la función cuadrática cuyo gráfico contiene los puntos P1= (-1; 6), P2=(2; 3), P3=(3; 10)
Trabajaremos con la fórmula: y = ax2 + bx + c  
Como los tres puntos pertenecen al gráficode f(x), reemplazamos las coordenadas de cada uno en su expresión:
                    P1= (-1; 6) => x = -1; y = 6   =>  a(-1)2+ b(-1)+c = 6 => 1.a - 1 b + c = 6
                    P2= (2; 3)  => x = .... ; y = … => a(2)2+ b(2)+ c = 3  => 4 a + 2 b + c = 3
                    P3= (3; 10) => x = ....; y = … => a(…)2+ b(…)+c = …. => 9 a + 3 b + c = 10
Observen que nos quedoplanteado un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, para resolverlo utilizaremos el método de Igualación:
                   1.a - 1 b + c = 6   (1)
                   4 a + 2 b + c =3   (2)
                  9 a + 3 b + c = 10 (3)
Despejamos c en (1) y (2) e igualamos
                 
           (1)       1.a - 1 b + c = 6   => c = 6-a + b
           (2)       4 a + 2b + c = 3   => c= 3- 4a - 2 b   => 6-a + b = 3 - 4a - 2b
                                                                              6- a + b - 3 + 4a + 2b = 0                                                                              3 + 3a + 3b = 0 (*)
Haciendo lo mismo con (2) y (3) nos queda    
                
             (2)     4 a + 2 b + c = 3   => c= 3 - 4a - 2b
             (3)     9 a + 3 b +c = 10 => c= 10- 9a - 3b  => 3 - 4a - 2b = 10- 9a - 3b
                                                                          => 3 - 4a - 2b -10+ 9a + 3b=0...