parabola

PARÁBOLA


Definición.- Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidista de una recta fija , llamada directriz, y un punto fijo , denominado foco, que no pertenece a la recta, es decir:


Según esta definición y haciendo referencia al gráfico, se tiene:




Elementos de una parábola.-
1. Vértice . Es el punto de intersección de la parábola con el eje desimetría.
2. Foco . Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a unidades del vértice.
3. Eje de simetría . Recta perpendicular a la directriz y que pasa por el vértice y el foco.
4. Cuerda . Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
5. Directriz . Recta fija, perpendicular al eje de simetría .
6. Cuerda focal. Segmento de recta que une dos puntos de laparábola pasando por el foco.
7. Lado recto. Es una cuerda focal perpendicular el eje de simetría.

EJERCICIOS PARÁBOLA
1. Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que son equidistantes de un punto fijo llamado ___________ y una recta fija llamada ___________ de la parábola.

2. La gráfica de la ecuación es una parábola con foco y directriz Entonces el gráfico de esuna parábola con foco y directriz .

3. La gráfica de la ecuación es una parábola con foco y directriz Entonces el gráfico de es una parábola con foco y directriz .

4. Identificar el foco, la directriz, y el vértice en los gráficos dados para las parábolas de los siguientes ejercicios.
a.
b.


5. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas, con ejefocal paralelo al eje y, y que pase por el punto .

6. Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto y directriz de la recta .

7. Encuentra la ecuación de la parábola con los siguientes datos.
a. Foco ; Vértice .
b. Foco ; Vértice .
c. Foco ; Vértice .
d. Foco ; Vértice .

8. Encuentra la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje y con vértice y que pasa por elpunto .

9. Encuentra la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x con vértice y que pasa por el punto .

10. Encuentra la ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje x con foco , .


11. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de cada una de las siguientes parábolas con ecuación general:
a.

Solución
Tenemos la ecuación , donde el término cuadrático estáen función de , entonces el eje focal es paralelo al eje y.








Por tanto la ecuación estándar de la parábola es:
donde:

:
Vertice :
Foco :
Directriz :

b.
c.
d.
e.
f.
g.


12. Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio con centro en el vértice de la parábola cuyo foco es y cuya directriz es la recta .

13. Halla laecuación general de la recta con pendiente que pasa por el foco de la parábola con vértice y directriz .

14. En cada caso, encuentre la intersección de la recta y la parábola.
a. Recta ; parábola
b. Recta ; parábola
c. Recta ; parábola
d. Recta ; parábola




APLICACIONES DE LA PARÁBOLA
Una propiedad importante de la parábola es la de reflexión, la cual consiste en que cuandouna onda viaja paralela al eje de la parábola y choca con esta, entonces se refleja hacia el foco y, de manera inversa, si del foco emana una onda, cuando esta choca con la parábola, se refleja paralelamente al eje.

Gracias a esta propiedad es que se construyen faros, antenas y espejos con forma de paraboloide. Por ejemplo, estamos muy acostumbrados a escuchar sobre las antenas parabólicas.Un paraboloide se obtiene al girar una parábola alrededor de su eje de simetría. Si lo cortamos con planos que contienen el eje de simetría, obtenemos parábolas que comparten el foco y el vértice.

Antenas parabólicas
Estas superficies tienen muchas aplicaciones, principalmente en óptica y electrónica, ya que si un rayo de luz paralelo al eje choca contra el paraboloide, entonces se refleja...