parabola

MATEMATICAS GRADO DECIMO

SEGUNDO PERIODO

TEMAS
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Parábola

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Elipse

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Hipérbola

Parábola
Es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la
directriz.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta
(eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
La parábola aparece en muchas ramas de las cienciasaplicadas, debido a que las
gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del
movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola.
Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la sección de un cono recto
por un plano paralelo a su directriz, actualmente es más comúndefinir la parábola como
un lugar geométrico:

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes
de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se
denomina foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los
tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto
cualquiera de la rectadirectriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la
mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la
mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que
pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede
aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.
De la construcción anteriorse puede probar que la parábola es simétrica respecto a la
línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la
parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de
la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el
vértice y el foco se conoce como Distancia focal o Radio focal.

Lospuntos de la parábola están a la
misma distancia del foco F y de la recta
directriz.

Construcción de puntos en una parábola.

Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a
la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la
directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa que
FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE
es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).

Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la
construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la
directriz, precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden
ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz
cuando éstos son desconocidos.

Semejanza de todas lasparábolas

Todas las parábolas son similares, es únicamente la escala la que crea la apariencia de
que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única
sección cónica que tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a que todas las
parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente,al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en
ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian
la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las
parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay
parábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la...