Parabola

DEFINICION, El lugar geomtrico de los puntos cuya relacin de distancias a un punto y una El punto fijo se llama ,foco de la cnica, la recta fija directriz y la relacin constante Las secciones cnicas se clasifican en tres categoras, segn su forma y propiedades. recta fijos es constante recibe el nombre de srccicn cnica o simplemente cnica. excentricidad que, normalmente, se representa por la letrae. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e. Si e I , la cnica se llama elipse. Si e I , la cnica se llama parbola. Si e 1, la cnica se llama hiprbola PARABOLA. Sean LL y F la recta y punto fijos. Tracemos por F la perpendicular al eje x y sea 2a la distancia de F a LL. Por definicin de parbola la curva debe cortar al eje x en el punto O, equidistante de F y LL. Eleje y se traza perpendicular al x por el punto O. Las coordenadas de F son (a, O) y la ecuacin de la directriz es x -a, o bien, x a O. Sea P(x,y) un punto genrico cualquiera de ma- PF nera que -P- M e I . Entonces, Elevando al cuadrado, x2 - 2ax a2 t y2 x2 L- 2ax a, - IC - d ( X - a)2 ( y- O) 2 - Y i a. X I o bien, y2 4ux. L De la forma de la ecuacin se deduce que la parbola es simtricacon respecto al eje .Y. El punto en que la curva corta al eje de simetra se denomina vrtice. La cuerda CC que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama kdtus rectum. La longitud del latus rectum es 4a, es decir, el coeficiente del trmino de primer grado en la ecuacin. Si el foco est a la izquierda de la directriz, la ecuacin toma la forma .I -- 4ax. Si el foco pertenece al eje y. laforma de la ecuacin es x2 k 4 a y en la que el signo depende de que el foco est por encima o por debajo de la directriz. Consideremos ahora una parbola de vrtice el punto (h, k ) , de eje paralelo al de coordenadas x y cuyo foco est a una distancia a del vrtice y a la derecha de l. La directriz. 46 SECCIONES CONICAS.-LA PARABOLA paralela al eje J y a una distancia 2a a la izquierda del foco, tendrla ecuacin x h - a, o bien, .Y - h a O. de la parbola. Como PF PM, Llamemos P(.w,y) un punto genrico cualquiera y V(X - h - u ) - (y - k) y Y -- h U, y2 - 2ky k2 - 4uu -- 4ah, (y - k)2 4 4 Y - h). (I - k) - -44s - h) (.u - h)2 44y - k ) (.u - h)2 -4a(y -, k ) . Otras expresiones tipicas son Que desarrolladas adquieren la forma Y ay2 -- hj c, ax2 hs . PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallarel foco, la ecuacin de la directriz y la longitud del latus rectum de la parbola 3y2 8x, 2 2 4 3 3 Para hallar la longitud del latus rectum se calcula el valor de y para x - Para x -, y -3, con lo cual, la longitud del latus rectum es 2 4 2. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto y por directriz la recta y - -3 O Hallar la longitud del latus rectum. Sea P(x, y) un puntogenrico cualquiera de la parbola. En estas condiciones, 16 16 Elevando al cuadrado y simplificando, x2 -- y O. Latus rpctum 4a - 3 3 Problema 2 Problema 3 3. Hallar la ecuacin de la parbola de vrtice el punto (3, 2) y foco (5, 2). Como el vrtice es el punto (3,2) y el foco (5, 2) se tiene, a 2 y la ecuacin adquiere la forma (y - k)2 4a(x - h), o sea, (y - 2) 8(x - 3). Simplificando, y2 - 4y - 8x28 O. 48 SCCC IONF S CONIC AS I A PARAR01 A 4. Hallar la ecuacin dc la parabola de vertice el origen, de CJC el de coordenadas punto (6. 3) y que pase por el La ecuacin que liemos dc aplicar es i2 Como el punto (6, - 3) pertenece a la curva el valor de a debe ser tal que las coordenada5 del punto sati5fagan a la ecuacion Suitituqendo. 36 4a(--3). de dondc. (1 3 La ecuacin pedida es xL -12y.4aj 5. Hallar la ecuacin de la parabola de foco el plinto (6, --2) y directrii la recta -- 2 - O. - _ _ i lca definicin. (Y -- 6)2 1 (I. j 2) i - 2 Elevando al ctiadraclo, t L - 12 - 36 - b L 4) 4 - t L - 4 4 4 Simplificando, ,v2 4) - 8 f 36 O 6. Hallar la ecuacion de la parabola de vcrticc el puiito (2, 3). de eje paralelo al de coordenadas y, y que pase por el punto (4, 5 ) La ecuacin que...