parabolas

GRAFICAS DE LA FORMA y = ax2 + bx + c LA PARÁBOLA

Representemos la parábola y = x2 (a=1, b=0, c=0)
Vez dándole valores a esta tabla y sustituyendo en la función de arriba “parábola”y representa los puntos en los ejes coordenados.



Todas las parábolas tienen esta forma al representarlas gráficamente.
Fíjate que es simétrica. La rama de la izquierda es igual que la de laderecha.
El punto mínimo o máximo es llamado vértice

Ejercicio: Representa el los siguientes ejes coordenados las siguientes gráficas
y1=-x2 y2=2x2 y3= -2x2



¿Cuales son las diferencias que aprecias entre las distintas gráficas? Fíjate como se diferencian las gráficas dependiendo del valor de “a”(coeficiente de la x2)

¿Qué pasa si el valor de “a” es positivo?¿y si es negativo?¿Qué pasa si el valor de a va siendo mas grande, primero vale 1, luego vale 2, luego 3, ..... ?


Representa ahora la parábola de ecuación y = x2 – 4 (a=1, b=0, c=-4)

Para representar la parábola mas fácilmente realizaremos los siguientes pasos:

1. Calculamos puntos de corte con el eje Y

Estos puntos tienen que tener la coordenada x=0, por lo tanto sustituyendo en la ecuacióntendremos:
y= 02-4 =0 El punto será por lo tanto el (0 , -4)

2. Calculamos puntos de corte con el eje X

Estos puntos tienen que tener la coordenada y=0, por lo tanto sustituyendo en la ecuación tendremos:
0= x2 – 4 , despejando x2, tendremos 4=x2, despejando x, tendremos x=
Así tendremos dos puntos de corte (-2,0) y (2,0)

3. Calculamos el vértice

El vértice está en la mitad. Porlo tanto estará situado entre los dos puntos de corte (-2,0) y (2,0).
Como el punto medio será de la forma (-2,0)  ( 0, ¿? )  (2,0)
Sustituyendo x=0 en la ecuación tendremos que y = 02 –4 = -4 Así ( 0, ¿? ) = (0, -4) = vertice

4. Hacemos una tabla de valores para unos pocos números distintos de los anteriores.



Fijate que debido a que a= 1 es positivo la parábola tiene lasramas hacia arriba


Ejercicio: Representa utilizando los pasos descritos anteriormente las siguientes parábolas:

y1= -x2+4 y2=x2-9 y3= 2x2-32


¿Qué tienen en común los vértices de estas tres parábolas?








La parábola de la forma y=ax+by (c=0)

Ejemplo: y = 2x2-7x

1. Puntos de Corte con el eje Y

Para calcular este punto hacemos x=0, sustituyendo en la ecuacióntendremos que y=0. por lo tanto el punto obtenido será el ( 0 , 0 )
Todas las parábolas de este tipo tendrán esta característica

2. Puntos de Corte con el eje X
Para calcular este punto hacemos y=0, sustituyendo en la ecuación tendremos que 0= 2x2-7x , ahora resolviendo esta ecuación tendremos que:
0= x (2x-7) cuyas soluciones son por un lado x=0 y por otro lado si 2x-7 =0 resulta quedespejando x, obtenemos x=7/2= 3.5.
Por lo tanto los puntos obtenidos serán el ( 0 , 0 ) y el ( 7/2 , 0 )

3. Calculo del Vértice
El vertice estará situado entre el valor x=0 y x=7/2, justo en la mitad que corresponderá al valor
x = ( 0+7/2 ) / 2= 7/4 = 1.75 “forma de obtener el punto medio”



Si conocemos el valor de x= 7/4 sustituyendo en la ecuación obtendremos el valor de y =2(1.75)2-7(1.75)=-6.125
El vértice obtenido estará situado en el punto V(1.75 , -6.125)



4. Tabla de valores
Para terminar y representar la parábola simplemente obtenemos unos cuantos puntos mas mediante una tabla de valores. Además tendremos en cuenta la simetría.

X
Y
-0.5
4
-1
9
1
-5
2
-6
3
-3
4
4
5
15
4.5
9




GRAFICA FINAL DE LA PARÁBOLA y = 2x2 -7x





Todas lasparábolas de este tipo ¿qué tendrán el común?







Ejercicio: Representa utilizando los pasos descritos anteriormente las siguientes parábolas:

y1= -x2+4x y2=2x2-9x y3= -2x2+18x










La parábola de la forma y=ax+by+c (con a, b, c distintos de cero)

Ejemplo: y = x2-5x+6

1. Puntos de Corte con el eje Y
Para calcular este punto hacemos x=0, sustituyendo...