parabolas

Diferenciación e Integración
Numérica

U CM

Introducción

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• La diferenciación y la integración son
operaciones muy frecuentes en computación
científica.
– Obtener analíticamente la derivada o integral de
una función puede ser muy complicado e incluso
imposible, hay que recurrir entonces a las técnicas
numéricas.
– Si únicamente conocemos el valor de la función en
un conjuntode puntos (xi, fi), su derivada e
integral solo se pueden obtener numéricamente.

• Los sistemas físicos generalmente se modelan
por medio de ecuaciones diferenciales. Existen
muchas ecuaciones diferenciales que carecen de
solución analítica, siendo posible obtener
soluciones numéricas únicamente.

x
x0
x1
x1
x3

f(x)
f0
f1
f2
f3

y '( x) = f ( x, y ( x)),
y ( x0 )
U CMDiferenciación numérica

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• En general, existen dos modos de resolver el problema de la
diferenciación numérica:

1. Estimando la derivada como una fórmulas de diferencias finitas
obtenida a partir de la aproximación de Taylor.

f '( x) = lim
h→0

f ( x + h) − f ( x ) f ( x + h) − f ( x )
≈
h
h

2. Derivando el polinomio de interpolación obtenemos otro polinomio
que aproximala derivada de la función en toda la región de
interpolación.

f ( x) = Pn ( x) + En ( x) ⇒ f '( x) = Pn '( x) + En '( x)

• El algoritmo de diferenciación numérica es inestable.

Los errores iniciales, experimentales de los datos o los de redondeo del
computador, aumentan en el proceso de diferenciación. Por tanto no se
pueden calcular derivadas de orden alto.

U CM

DiferenciaciónDirecta
• La derivada se puede aproximar
numéricamente por diferencias finitas:
• En el caso de una recta f(x)=ax+b, la
expresión anterior es el valor exacto.
• En otros casos nos proporciona un valor
cuyo error podemos estimar usando la
aproximación de Taylor:

h2
f ( x + h) = f ( x) + hf '( x) +
f ''( z );
2
x < z < x + h;

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Diferencia Adelantada

f ' ( x) ≈

f ( x + h) − f( x )
h

• Reordenando:

f ' ( x) =
•

f ( x + h) − f ( x ) h
f ( x + h) − f ( x )
− f ' ' ( z) =
+ O( h)
h
2
h

El error cometido al aproximar la derivada es función lineal de h (en este caso).
Cuanto menor sea h, valores de f(x) más cercanos, la derivada es más precisa.
Se denomina Error de Truncado o Discretización.

U CM

Diferenciación Directa
•

5

DiferenciaCentrada con dos puntos, reducimos el orden del error a O(h2).

f1 − f −1
+ O (h 2 );
2h
h2
Error = −
f ′′′´( z )
6
f '( x0 ) =

•

Si utilizamos los tres puntos, el error también es O(h2) pero con la mitad de
valor.

− f + 4 f1 − 3 f 0
+ O(h 2 );
f '( x0 ) = 2
2h

h2
Error = +
f ′′′´( z )
3

U CM

Fórmulas de Derivadas

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Fórmulas primera derivada

f1 − f 0
+ O( h)h
f − f −1
f ' ( x0 ) = 1
+ O( h 2 )
2h
− f 2 + 4 f1 − 3 f 0
f ' ( x0 ) =
+ O( h 2 )
2h
− f 2 + 8 f 1 − 8 f −1 + f −2
f ' ( x0 ) =
+ O( h 4 )
12h
f ' ( x0 ) =

Fórmulas segunda derivada

f 2 − 2 f1 + f 0
+ O ( h)
h2
f − 2 f 0 + f −1
+ O ( h)
f ''( x0 ) = 1
h2
− f + 4 f 2 − 5 f1 + 2 f 0
+ O(h 2 )
f ''( x0 ) = 3
2
h
− f + 16 f1 − 30 f 0 + 16 f −1 − f −2
f ''( x0 ) = 2+ O( h 4 )
2
12h
f ''( x0 ) =

Fórmulas tercera derivada

f 3 − 3 f 2 + 3 f1 − f 0
+ O( h)
h3
f − 2 f 1 + 2 f −1 − f −2
+ O( h 2 )
f ' ' ' ( x0 ) = 2
3
2h

f ' ' ' ( x0 ) =

Fórmulas cuarta derivada

f 4 − 4 f 3 + 6 f 2 − 4 f1 + f 0
+ O( h)
h4
f − 4 f 1 + 6 f 0 − 4 f − 1 + f −2
+ O( h 2 )
f IV ( x 0 ) = 2
4
h

f

IV

( x0 ) =

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Diferenciación basada enlos polinomios de interpolación

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• Por ejemplo, partiendo del método de Newton-Gregory.
f ( x) = Pn ( x) + En ( x) ⇒
( x − x0 )
( x − x0 )( x − x1 ) 2
( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xn −1 ) n
Δf 0 +
Δ f0 + +
Δ f0
h
2h 2
n !h n
f ( n +1) ( z )
En ( x) ≈ ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − xn )
; x0 < z < xn
(n + 1)!
Pn ( x) = f 0 +

• Si calculamos la derivada de f(x) resulta lo...