Paradigma. Logica Difusa

CAPÍTULO 1 EL PARADIGMA DIFUSO En este capítulo describiremos brevemente los fundamentos matemáticos de la teoría de conjuntos difusos, así como la aplicación de estos conceptos a los mecanismos de inferencia, lo que se ha dado en llamar Lógica Difusa. Asimismo estudiaremos las características generales de los sistemas basados en lógica difusa. 1.1 CONJUNTOS DIFUSOS La teoría de conjuntosdifusos fue introducida por Lofti A. Zadeh como un mecanismo de representación de la vaguedad e imprecisión de los conceptos empleados en el lenguaje natural [Zadeh,1965]. Expresiones del tipo «ese hombre es alto», «hoy hace calor» o «voy a tardar un rato» son habituales en nuestro lenguaje. Sin embargo no es fácil precisar qué entendemos por «alto», «calor» o «un rato». Difícilmente nos pondremos deacuerdo en precisar a partir de qué altura puede considerarse alta a una persona, o a partir de qué temperatura se dice que hace calor, o cuánto tiempo supone esperar un rato. Sin embargo los seres humanos no encontramos dificultades en razonar con estos conceptos imprecisos. Los conjuntos difusos fueron definidos como una extensión de los conjuntos clásicos que permitiera modelar la imprecisiónde los conceptos humanos. En la teoría clásica de conjuntos, formulada por Georg Cantor a finales del siglo XIX, un cierto elemento puede pertenecer o no a un determinado conjunto, es decir, la relación de pertenencia puede tomar únicamente los valores verdadero o falso. La modificación fundamental propuesta por Zadeh consiste en introducir un grado de pertenencia, esto es, expresar la pertenenciade un elemento a un conjunto como un número real en el intervalo [0,1]. Un grado de pertenencia ‘0’ indica que un elemento no pertenece a un determinado conjunto, mientras que un grado de pertenencia ‘1’ indica que el elemento pertenece totalmente al conjunto. Valores intermedios indican una pertenencia parcial de un elemento al conjunto (Figura 1.1). La definición de un conjunto difuso Arequiere la especificación del valor del grado de pertenencia de cada elemento del universo de discurso U sobre el que se define el conjunto, esto es, la especificación de una función de pertenencia µA(u). La función de pertenencia de un conjunto clásico sólo puede tomar los valores ‘0’ y ‘1’, mientras que en un conjunto difuso puede tomar cualquier valor en el intervalo [0,1].

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Un entorno dedesarrollo para sistemas de inferencia complejos ...

grado de pertenencia

Temperatura baja

Temperatura alta

(a)

32 grado de pertenencia

34

36

38

40 Temperatura (˚C)

Temperatura baja

Temperatura alta

(b)

32

34

36

38

40 Temperatura (˚C)

Figura 1.1: Representación gráfica de dos conjuntos: (a) Clásico; (b) Difuso.

µA(u) : U ¡ [0,1]

(1.1)

Aunque las funciones de pertenencia puedentener cualquier forma, generalmente y por razones prácticas se suelen definir analíticamente, de manera que sólo sea necesario especificar el valor de algunos parámetros para determinar la función [Ross, 1995]. Algunas de las formas más utilizadas son funciones triangulares, trapezoidales, campaniformes o sigmoidales, como muestra la Figura 1.2. A partir de la definición de conjunto difuso sesuelen introducir una serie de términos básicos, como soporte, altura o corte-α de un conjunto difuso, que se utilizan frecuentemente en la literatura [Cox, 1999]. La Figura 1.3 muestra gráficamente el significado de estos términos. Se define soporte de un conjunto difuso como el conjunto (clásico) de elementos cuyo grado de pertenencia es no nulo. Se dice que un conjunto difuso es una singularidaddifusa (fuzzy singleton) si su soporte está formado por un único elemento. soporte ( A ) = { u ∈ U µ A ( u ) > 0} (1.2)

Se define altura de un conjunto difuso como el valor máximo de su función de pertenencia. Se dice que un conjunto difuso es normal si su altura es la unidad.

El paradigma difuso

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b a b c a b c d a

(a)

(b)

(c)

b a a b a

(d)

(e)

(f)

Figura 1.2: Funciones utilizadas...