Paradoja de gibbs

Paradoja de gibbs
En 1875 willard gibbs publico
su histórico articulo «sobre el
equilibrio de
sustancias
heterogéneas». en este articulo
se trato del estudio de la
entropía en mezcla de gasesideales.

Descripción del
problema

Tomemos un sistema muy simple. En dos
recipientes cuyos volúmenes son V1 , V2 y
N1,N2 numero de moléculas respectivamente.
Los recipientes se restringen a tener la mismatemperatura T y presión P y las ponemos en
contacto .
gas A
P,V1,T,N1

gas B
P,V2,T,N2

Ahora a través de la pared común abrimos un
pequeño orificio dejando que los gases se
mezclen entre si. Estogenera un proceso
isotérmico e isobárico P y T constantes con
N=N1+N2 , V=V1+V2, T, P .
gas A+B

P ,V ,T ,N
la pregunta es ¿ hay un cambio en su
entropía debido al mezclado de los gases ?

Partiendo dela ecuación fundamental de la
termodinámica
TdS= dU + pdV – udN donde
dN=0 . Reemplazando PV=NKT , U=3/2NKT ,
K=R/No(constante de boltzman).obtenemos
S=NK( 3/2lnT+ lnV + So )
So es la cte deintegración
para el gas A Sa=N1K(3/2lnT + lnV1 + So)
para el gas B Sb=N2K(3/2lnT + lnV2 +So)
Si=Sa +Sb
Sf=NK(3/2lnT + LnV + So)
▲S=Sf – Si=KN1ln(V/V1) + KN2ln(V/V2)
para N1=N2=No, V1=V2=V/2
▲S=2Rln2solución del
problema

S(U,V,N) debe satisfacer la regla de Euler para
funciones homogéneas de primer grado .
&>0 , S(&U,&V,&N)=&S(U,V,N) ;
S=NK( 3/2ln(U/N) + lnV + So’) ; So’=So-3/2lnK
el cual no satisfaceel teorema de Euler. Tomando
So’=-NKlnN+cNK
tenemos que :
S=NK{ 3/2ln(U/N) + ln(V/N) + c }
regresando al estado original
S=NK{3/2ln(U/N) + ln(V/N) + So }
S=NK{ 3/2lnT + ln(V/N) + So}

para gasesidénticos
Para el gas A
Sa=N1K{ 3/2lnT + ln(V1/N1) + So}
Para el gas B Sb=N2K{ 3/2lnT + ln(V2/N2) + So}
Si=Sa+Sb
Sf= NK{ 3/2lnT + ln(V/N) + So}
▲S=K{ N1ln(V/N)(N1/V1) + N2ln(V/N)(V2/N2)}
pero V/N=V1/N1 yV/N=V2/N2
por la tanto,
▲S=0 ,
como debería ser; al ser los gases idénticos no hay
mezclado y por tanto no hay cambio en la entropía

gases diferentes
Sf=N1K{ 3/2lnT + ln(V/N1) + So} + N2K{3/2lnT...