paradojas

UNIVERSITAS SCIENTIARUM
Revista de la Facultad de Ciencias
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Julio-diciembre de 2003
Vol. 8, 25-37

LAS PARADOJAS EN MATEMÁTICAS
Iván Castro Chadid1, Jesús Hernando Pérez2
1
Profesor Titular. Pontificia Universidad Javeriana
Profesor Asociado. Universidad Nacional de Colombia
ivan.castro@jol.net.co
2
Profesor Emérito. Universidad Nacional de Colombia.Profesor Universidad Sergio Arboleda
jhpalcazar@multiphone.net.co

RESUMEN
Se hace una presentación y análisis de varias de las paradojas que más han influido en el desarrollo de las
matemáticas y se relacionan algunas de ellas con el tema del infinito. Se clasifican en dos grandes grupos:
semánticas y lógicas.
Palabras clave: Paradojas, paradojas semánticas, paradojas lógicas, tiempo,espacio, continuo, discreto,
verdad matemática, conjunto paradójico, definiciones impredicativas.
ABSTRACT
This work presents and analyses some of the most influential paradoxes in the development of the
mathematical thought; some of them are related with the concept of infinite and are divided in two main
groups: semantical and logical.
Key words: Paradoxes, semantical paradoxes, time, space,continuum, discreet, mathematical truth,
paradoxical set, non-predicative definitions.

INTRODUCCIÓN
Para muchos, una paradoja es algo que a
primera vista parece ser falso pero que en
realidad es cierto; o que parece ser cierto
pero que en rigor es falso; o sencillamente
que encierra en sí mismo contradicciones.
Los conceptos de certeza o falsedad en matemáticas y aún el decontradicción, dependen del grado de desarrollo de la matemática en un momento dado; parodiando a
Hamlet puede decirse que «lo que una vez
fue paradoja, ya no lo es, pero puede volver a serlo». Este hecho también se da en
las ciencias experimentales y conduce inicialmente a un cuestionamiento del con-

cepto de «rigor científico» que se maneja
en cada época.
Uno de los aspectos más interesantes de lamatemática estriba en que sus más difíciles
paradojas encuentran un camino para originar las más bellas y profundas teorías;
Kasner y Newman sostienen:
«El testamento de la ciencia es un flujo continuo, de tal manera que la herejía del pasado es el evangelio del presente y el fundamento del mañana” (Kasner, et al., 1979).

A menudo se llega a paradojas cuando se
contradice el denominadoprincipio del

25

5-PARADOJAS.p65

25

06/10/03, 09:17 a.m.

Universitas Scientiarum Vol. 8, Ed. Especial, Matemáticas, 25-37

tercero excluido (Kleiner et al., 1994), que
afirma lo siguiente:
cualquier enunciado proposicional es
verdadero o es falso, pero no se pueden
dar ambas cosas simultáneamente.
Al tratar de aplicar a conjuntos infinitos el
hecho de que: Si es posible emparejartodos los elementos de un conjunto con todos los pertenecientes a otro, entonces,
ambos conjuntos tienen el mismo número
de elementos puso a los matemáticos ante
algunos hechos que eran inexplicables en
su época y que fueron considerados como
paradojas; algunas de ellas, son:
1. Es posible emparejar todos los puntos de
dos segmentos de rectas.
En efecto dados dos segmentos AB y CD,
quepodemos suponer paralelos, conéctese
D con A y B con C para obtener el punto O.
Sea M ∈ AB, la recta que pasa por O y M,
corta al segmento CD en el punto N; en
forma similar, si N ∈ CD la recta que pasa
por O y N, corta al segmento AB en el punto
M De esta forma quedan emparejados todos los puntos de AB con los del segmento
CD.

M

A

B

En su obra Discursos y demostracionesmatemáticas presenta el siguiente diálogo
entre Salviati y Simplicius:
“Salviati: Si pregunto cuántos son los cuadrados de los números, puedes responderme correctamente que son tantos como sus
propias raíces; dado que cada cuadrado tiene su raíz, y cada raíz su cuadrado, ni cada
cuadrado tiene más de una sola raíz, ni cada
raíz tiene más de un solo cuadrado.
Simplicius: ¿Qué es lo que hay que...