paralelas

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce

Rectas paralelas y rectas perpendiculares en el plano cartesiano
Por: Enrique Díaz González
En el curso de Precálculo, aparece el tema de las ecuaciones de líneas rectas y las
condiciones para que dos rectas en el plano sean paralelas o perpendiculares. Estas condiciones
tienen que ver con las pendientes de las rectas. Sinembargo, en la mayoría de los textos se
omiten las demostraciones matemáticas para justificar esas condiciones. Este artículo pretende
dar una prueba más formal de dichas relaciones.

1) Rectas paralelas.
Recordemos que dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no se
intersectan. Por ejemplo, dos rectas verticales distintas son paralelas, porque cada una de
ellas es paralelaal eje de las ordenadas. De la misma forma, dos rectas horizontales
distintas son paralelas, porque cada una de ellas es paralela al eje de las abscisas. Vamos
a probar la siguiente proposición:

Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.
a) Supongamos que L1 y L2 son dos rectas distintas no verticales con pendientes

m1 y m2 , respectivamente y que

m1 m2 . Hay que probar que L1 es paralela

con L2 . Si ambas rectas son horizontales, es decir, si tienen la misma pendiente
cero, entonces son paralelas porque cada una de ellas es paralela al eje de las
abscisas, es decir, al eje x. Si ninguna es vertical, sean y  m1 x  b1 ,
y  m2 x  b2

las ecuaciones de estas rectas, donde b1  b2

. Si estas ecuaciones tienen una

solucióncomún ( x1 , y1 ) entonces sustituyendo en las ecuaciones anteriores y
restando ambas ecuaciones resulta que b1  b2 , ya que m1  m2 . Por lo tanto, las

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rectas coinciden lo cual es absurdo porque las rectas son distintas. En
consecuencia, las rectas no tienen puntos en común y, por lo tanto, sonparalelas.
b) Supongamos ahora que L1 y L2 son paralelas y no verticales. Vamos a suponer
que m1  m2 . Entonces resolviendo para las variables x, y en el sistema
y  m1 x  b1 ,
x

b1  b2
m1  m2

y  m2 x  b2 se tiene:

,

y  m1  (

b1  b2
)  b1
m1  m2

Este valor de la variable “y” se obtuvo en la ecuación de L1 , pero estos valores
también satisfacen la ecuación deL2 . En efecto, sustituyendo en la segunda

ecuación del sistema se tiene:
 m1 

b1  b2
b b
 b1  m2   1 2  b2
m1  m2
m1  m2

Multiplicando esta ecuación por m1  m2 , resulta
 m1b1  m1b2  m1b1  m2 b1  m2 b1  m2 b2  m1b2  m2 b2

m1  m2
m1  m2

Cancelando términos semejantes en el numerador, estas expresiones son iguales.
Por lo tanto, las rectas tienen unpunto en común y esto contradice que son
paralelas. En consecuencia, m1  m2 y esto termina la demostración.

2) Rectas perpendiculares. Recordemos que dos rectas en un plano son perpendiculares si
se intersectan formando un ángulo recto. Vamos a probar la siguiente proposición:
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus
pendientes es  1 .
a) Supongamos quelas rectas no verticales L1 y L2 tienen pendientes m1 y m2 tales
que m1  m2  1 . La primera conclusión de esta hipótesis es que las rectas no son
horizontales ni son paralelas. Por lo tanto, estas rectas se cortan en un punto
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P = (p , q). Tomemos un punto R = (a , b) en L1 y un punto S = (c , d) enL2 tal
que sean distintos a P. Entonces se determina un triángulo PRS y además

m1 

bq
a p

,

Por la hipótesis

m2 

d q
.
c p

bq d q

 1 , lo que significa que
a p c p

bd  bq  dq  q 2  ac  ap  pc  p 2

(*)

Queremos probar que el triángulo PRS es rectángulo con el ángulo recto en el vértice
P. Vamos a usar el recíproco del Teorema de...