Paralelismo entre rectas

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCASION
UPTA EXTENSIÓN MARACAY







Algebra y Geometría Analítica









Profesor: Integrantes:











Marzo 2015


Paralelismo entre rectas
Dos rectasparalelas en el espacio se proyectan sobre un plano ortogonalmente sobre un plano α cualesquiera según dos rectas paralelas. Pero si las proyecciones de dos rectas sobre un plano son paralelas no significa que las rectas sean paralelas en el espacio. Vemos que las rectas r y s son paralelas y sus proyecciones son paralelas, pero en cambio las rectas r y t se proyectan sobre el plano según r’ y t’paralelas pero r y t no son paralelas en el espacio.
Por lo tanto la condición suficiente y necesaria para que dos rectas en el espacio son paralelas es que sus proyecciones sobre los planos de proyección PH y PV, sean paralelas, (excepto en las rectas de perfil) Las rectas r y s en el espacio son paralelas y sus proyecciones del mismo nombre también lo son, es decir r’ y s’ son paralelas y r’’ y s’’también. Trazar por un punto P’-P’’ una recta paralela a otra dada. Basta con trazar por P’ recta s’ paralela a r’ y por P’’ otra recta s’’ paralela a r’’. Si la recta es de perfil tenemos que hallar la tercera proyección de la recta r y del punto P y trazar por P’’’ una paralelas a r’’’.




Condiciones De Paralelismo
a) Cuando se conoce un vector director de cada recta
Sea un vector director der1 y  un vector director de r2. Sabemos que  y  no son nulos. Si  = (u1 , u2) y = (v1 , v2) tenemos: 
r1//r2 si  //  si    R,   0 :  =   si u1 = v1 y u2 = v2
si ( u1 / v1 ) = ( u2 / v2 )
Llamada condición de paralelismo conocidos los vectores directores de las rectas (Las componentes de los vectores son proporcionales)
Esta condición vale si las rectas no son paralelas a los ejes coordenados (v1  0 yv2  0). 
b) Cuando se conoce la pendiente de cada una de las rectas
Sea m1 la pendiente de r1 y m2 la pendiente de r2. De la proporción anterior se puede escribir: 
r1 // r2 si (u2/u1)=(v2/v1) si
m1 = m2
Llamada condición de paralelismo conocidas las pendientes. 
Esta condición vale cuando las rectas no son paralelas al eje y (sus pendientes están definidas).
c) Cuando se conoce un vectorperpendicular a cada recta
Sea  (A1, B1) un vector perpendicular a r1 y  (A2, B2) un vector perpendicular a r2. Si  y  son vectores directores de r1 y r2 respectivamente, tenemos la siguiente situación:

Luego: r1 // r2 si  //  si  //  si existe   R,   0 :  =  
si A1 = A2 y B1 = B2
si ( A1 / A2 ) = ( B1 / B2 )
Llamada condición de paralelismo conocidos los vectores perpendiculares a las rectas (Loscoeficientes de las ecuaciones implícita de las rectas son proporcionales)
Esta condición vale si las rectas no son paralelas al eje y (A20 y B2 0)
Perpendicularidad entre planos:
Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano.
Dos rectas en el plano son perpendiculares si entre ellas forman un Ángulo recto (en rigor, se formen cuatro ángulos rectos). Enun sistema de coordenadas, el producto de las pendientes de ambas rectas es -1.

Condiciones De Perpendicularidad
a) Cuando se conoce un vector director de cada recta
Sea (u1, u2) un vector director de r1, y (v1 , v2) un vector director de r2 . 
Tenemos entonces:
r1  r2 si    = 0 si
u1. v1 + u2. v2 = 0
Llamada condición de perpendicularidad conocidos los vectores directores de cada recta
b) Cuandose conoce la pendiente de cada recta

De la ecuación anterior se puede escribir:
r1 r2 si

Llamada condición de perpendicularidad conocidas las pendientes de las rectas

Es claro que esta condición vale si m1  0 y m2  0. Luego, ninguna de las rectas debe ser paralela al eje x ni al eje y.
Vector Director
Un vector director es un vector que da la dirección de una recta y también la orienta, es...