parametricas

UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

CALCULO VECTORIAL ( 220075 )
Segundo Semestre 2014
1.- Dadas los siguientes arcos de curva, definidos por las ecuacionesparamétricas:
dy
d2y
graficar el arco, eliminar el parámetro si es posible, calcular las derivadas
y
y
dx
dx 2
hallar las ecuaciones paramétricas de las rectas tangente y normal en t = t0,a) x = 3 + 7t ,

( t  IR ), t0 = 1

y = -51 – 17 t ,

b) x = 3t – t2 , y = 5 – 7 t2 ,
c) x = 3e2t ,

y = 1 – t2

( t  IR ), t0 = 2
( t  IR ), t0 = 0

,

( t  IR ), t0 = - 2

d) x= 3cos(3t) , y =3 sen(3t) ,

e) x = a(t – sen t ) , y =a( 1 – cos t ) , ( t  IR ), t0 =

5
4
, t0 = 
, t0 =  2
6
3

2.- Calcular la longitud del arco:
a) y = 3x 3 / 2 ,
0 x5
3x/3
b) y = (e  e  x / 3 ) , 0  x  2
2
c) x = e-t cos t , y = e-t sen t

0 x

2
3

3.- Discutir las simetrías y graficar los lugares geométricos de ecuaciones:
a) r = 5 cos (3  )

b)r = -7 cos (  /2)

d) r (2 - cos  ) = 4

c) r = 4 cos2(  /2)

e) r (1 + 2 sen  ) = 2

4.- Determinar el área de la región limitada por la curva y las dos rectas:
a) r =  ;

 = 0 ; = 2

c) r = cos (2  ) ;

b) r = 2 tg  ;  = 0 ;  = 2 / 3

 = 0 ;  =  /2

5.- Hallar el área total limitada por la curva de ecuación polar:
a) r = 5 cos (3  )

b) r = 4 + 8 cos c) r2 = 4 sen (2  )

6.- Hallar el área de la región dada:
a) Dentro de la circunferencia r = 4 sen  y fuera de r = 2
b) Dentro de la circunferencia r =

2 cos  y fuera de r = 2(1 - cos c) Dentro de la circunferencia r = 2 sen  y r2 = 2cos(2  )

ALGUNAS CURVAS EN COORDENADAS POLARES
Cardioide: r = a (1 + sen  )

Cardioide: r = a (1 + cos  )

Caracol: r = a + b sen  , a< b

Caracol: r = a + b cos  , a < b

Caracol: r = a + b sen  , a > b

Caracol: r = a + b cos 

Rosa de cuatro pétalos: r = a sen(2  )

a>b

Rosa de cuatro pétalos: r = a cos(2  )...